從幾何特性入手 圓錐曲線巧求解

甘肅省張掖市實驗中學 宮 雪 734000

在高考中,圓錐曲線一般有兩小一大三道題，一直是高考的重點、熱點，也是難點；其中圓錐曲線客觀題主要考查圓錐曲線定義、標準方程、幾何性質（如漸近線、離心率等），滲透了數形結合、轉化與化歸、曲線與方程的數學思想方法，以發展學生的學科素養為導向，考查圓錐曲線的核心知識與本質特性，方法靈活多變，能力要求高，相當一部分學生對此無所適從,戰戰兢兢，下面以2019年高考數學全國Ⅰ卷理科第10題為例，進行知識與解法剖析，旨在拓寬讀者思維視野，提高解題能力.

問題：（2019年全國Ⅰ卷理科第10題）已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點,若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為（ ）.

分析:本題表面看來樸素無華，內涵卻很豐富，考查橢圓的定義、標準方程及余弦定理的應用，考查數形結合思想、轉化與化歸、方程的數學思想方法，很好的落實了直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學素養，具有很好的創新性；求解圓錐曲線試題,首先考慮畫圖,其次考慮定義與幾何性質，充分挖掘圖形幾何量之間的等量或相互關系，凡涉及焦點三角形的問題,還應注意解三角形等知識的應用.

圖1

圖2

圖3

若A,B為直線l上兩點，其對應的參數分別為t1與t2，線段AB的中點為M，點M對應的參數為t0，則以下結論經常用到：①重在數形結合，理解記憶，切忌生搬硬套，牽強附會.

點評:靈活應用余弦定理是解題的關鍵,此方法也可換做在△F1F2B與△AF1B中求∠ABF1的余弦值.

圖4

圖5

解法6：如圖1所示，由已知可設|F2B|=t，則|AF2|=2t ,|BF1|=|AB|=3t，由橢圓的定義有2a=|BF1|+|BF2|=4t ,得又因為|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=a,所以點A應為橢圓C的上頂點（或下頂點）；如圖5所示，過點B作BD垂直x軸于點D,則△AOF2∽△BDF2,相似比為2:1,得(a＞b＞0)上，所 以 滿 足 其 方 程 得:b2=2,所求橢圓方程為，故選B．解法7：如圖1所示，由已知可設|F2B|=t，則|AF2|=2t ,|BF1|=|AB|=3t，由橢圓的定義有2a=|BF1|+|BF2|=4t ,得又因為|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=a，所以點A應為橢圓C的上頂點（或下頂點）；如圖6所示，由焦半徑公式得，其中e為橢圓的離心率，p為焦點到準線的距離（簡稱：焦準距），右準線方程為:為直線AB的傾斜角；又因為得a2=3,又因為c=1,所以b2=2,所求橢圓方程為

圖6

圖7

點評：用焦半徑公式幾乎就是秒殺此類試題;焦半徑公式的推導如下：橢圓的第二定義是平面上到定點F(c,0)（F不在l上）的距離與到定直線（橢圓的右準線）的距離之比為常數e（0＜e＜1）的點的軌跡為橢圓（注：人教A版選修2-1第50頁）.如圖7所示，AB是過橢圓的右焦點F(c,0)的一條弦，它的傾斜角為θ，p為焦點F(c,0)到準線的距離（簡稱：焦準距），過A做AA1⊥l于點A1，過B做BB1⊥l于點B1，則由第二定義得：|AF|=e|AA1|=e(p+|AF|?cosθ)，所以同理：

大部分學生對圓錐曲線試題有畏懼情緒,究其主要原因還是找不到解題的突破口或切入點,但從以上解析可以看出，抓住圖形的某一幾何特性，去轉化、求解圓錐曲線試題，讓學生在較短的時間內，突破思維障礙,快速準確地求解題目,事半功倍;另一方面,一題多解是提高解題能力的有效途徑,它在呈現不同解法的同時,不但拓寬了學生思維的靈活性與深刻性,而且提高了學生解題的興趣、品味、效率.