在變式教學(xué)中提升數(shù)學(xué)思維能力

浙江師范大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院 孔勝濤 321004

所謂“變式教學(xué)”這里是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過對(duì)數(shù)學(xué)問題多角度、多層次的變換，突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探索變的規(guī)律，目的在于培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的數(shù)學(xué)思維能力.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，如何才能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力？這是值得每一位數(shù)學(xué)教師積極探索的問題.筆者拙見，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，實(shí)施變式教學(xué)能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.但在實(shí)施變式教學(xué)時(shí)，切忌隨意、盲目地進(jìn)行變式，要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，適時(shí)適度地進(jìn)行.下面以一道線性規(guī)劃高考題的變式教學(xué)為例，介紹在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力因?qū)嵤白兪浇虒W(xué)”而提升的一些思路和方法.

A.-1 B.1 C.10 D.12

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖1所示.

圖1

解法2：（端點(diǎn)代入法）把A(2,2)，B(-1,1)，C(1,-1)代入z=3x+2y，得zmax=10.故選C.

1 改變目標(biāo)函數(shù)

1.1 目標(biāo)函數(shù)為線性目標(biāo)函數(shù)

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖1所示.

解法2：（端點(diǎn)代入法）把A(2,2)，B(-1,1),C(1,-1)代入z=3x-2y，得zmax=5.

評(píng)注：對(duì)線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(b≠0)的最值問題，要注意b的正負(fù)性對(duì)z的影響.

1.2 目標(biāo)函數(shù)為含參線性目標(biāo)函數(shù)

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖1所示.

解法2：（端點(diǎn)代入法）把A(2,2)，B(-1,1),C(1,-1)代入目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y，可分別求得a=2，a=-6，a=10.經(jīng)檢驗(yàn)a=10不符合題意，所以a=-6或a=2.

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖1所示.

解法1：若a=0，可知不符合題意；若a＜0，由目標(biāo)函數(shù)z=3x+ay得時(shí)截距最小，z取得最大值，故8=3-a，解得a=-5；若a＞0，由目標(biāo)函數(shù)z=3x+ay得過A(2,2)時(shí)截距最大，z取得最大值，故8=6+2a，解得a=1.綜上所述，a=-5或a=1.

解法2：（端點(diǎn)代入法）把A(2,2)，B(-1,1),C(1,-1)代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+ay，可分別求得a=1，a=11，a=-5.經(jīng)檢驗(yàn)a=11不符合題意，所以a=-5或a=1.

評(píng)注：對(duì)線性約束條件下含參線性目標(biāo)函數(shù)最值問題，用端點(diǎn)代入法求解依然成立，但是在求解的過程中要注意代回檢驗(yàn).

1.3 目標(biāo)函數(shù)為非線性目標(biāo)函數(shù)

1.3.1 目標(biāo)函數(shù)為曲線型

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖2所示.由目標(biāo)函數(shù)z=x2+y得y=-x2+z，當(dāng)曲線y=-x2+z與x+y=0相切時(shí)，z最小，設(shè)切點(diǎn)為D(x0,y0)，則y′|x=x0=-2x0=-1，可求得切點(diǎn)為此時(shí)對(duì)應(yīng)的，所以z=x2+y的最小值是

圖2

評(píng)注：目標(biāo)函數(shù)為曲線型，它的最值一般是在切點(diǎn)取到，而不是在線段端點(diǎn)，不可盲目使用端點(diǎn)代入法.

1.3.2 目標(biāo)函數(shù)為距離型

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖3所示.

圖3

目標(biāo)函數(shù)x2+(y+3)2表示可行域內(nèi)部的點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)E(0,-3)的距離，作EF⊥BC于點(diǎn)F，則不在可行域內(nèi)，結(jié)合圖形可得

評(píng)注：對(duì)于兩點(diǎn)距離型的目標(biāo)函數(shù)，解題時(shí)要注意它的最小距離不一定是定點(diǎn)到一條邊界線的距離.

1.3.3 目標(biāo)函數(shù)為斜率型

評(píng)注：對(duì)于斜率型目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，可以將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到斜率的取值范圍.

2 改變約束條件

2.1 可行域?yàn)榍€型

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖4所示.由目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y得，結(jié)合圖形可知：當(dāng)直線相切時(shí)，z最大.設(shè)切點(diǎn)D(x0,y0)，則得切點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的.所以z=3x+2y的最大值是

圖4

評(píng)注：本題中目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值是在切點(diǎn)D處取得，而不是在端點(diǎn)A，B，C處取得.當(dāng)可行域邊界有曲線時(shí)，要注意目標(biāo)函數(shù)的最值能否在切點(diǎn)取得.

2.2 約束條件含有參數(shù)

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖5所示.直線ax-3y+4=0過定點(diǎn)斜率目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值是7，則3x+2y=7必過可行域內(nèi)的點(diǎn)，求出直線3x+2y=7與3x-y-4=0的交點(diǎn)則直線ax-3y+4=0過，代入求得

評(píng)注：對(duì)于約束條件含有參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，利用逆向思維求解比較簡(jiǎn)便.

3 線性規(guī)劃與其它知識(shí)交匯

3.1 線性規(guī)劃與恒成立交匯問題

解析：作出滿足已知條件的可行域，如圖3所示.可求得A(2,2)，B(-1,1)，C(1,-1)，把A,B,C代入不等式-5≤ax+2y≤8得值范圍是[-3,2].

評(píng)注：對(duì)于線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，用端點(diǎn)代入法求解較簡(jiǎn)捷.

3.2 線性規(guī)劃與不等式交匯問題

評(píng)注：本題主要考查了線性規(guī)劃和基本不等式的有關(guān)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

圖6

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中實(shí)施變式教學(xué)，一方面在變中突出不變的解題方法，講一題、通一類、會(huì)一片，能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)技能的掌握，從而提升學(xué)生分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)思維能力；另一方面多角度層層遞進(jìn)的變式問題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能有效深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，從而提升學(xué)生分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)思維能力.因此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，實(shí)施變式教學(xué)能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.