對THUSSAT診斷壓軸填空題的解法探究

1 題目

注：THUSSAT測試命題在緊扣《普通高中教學標準》和高考大綱的基礎上，由清華大學專家牽頭組織，由高考命題專家和省級教研員作為考試顧問，小組成員由高水平大學教授和中學優秀教師代表構成.高校教師均為在京985高校所在學科的專家教授.THUSSAT測試定位于具有較高的區分度，貼合高水平大學選拔優秀人才的需求，強調基于高等教育學術人才培養所要求的跨學科綜合運用能力.

本題是該試卷一道壓軸填空題.由題中所給條件主要確定點P,求出切線方程運用點到直線的距離公式求解，但解題過程較為繁雜，下面給出幾種解法，供大家參考.

2 解法探究

2.1 求解點P

不妨設點P(x0,y0)在第一象限，且|PF1|＞|PF2|.

解法1：（設點直接求解）由

圖1

解法3：（橢圓第二定義）|PF1|=a+ex0

2.2 求切線方程

解法1：（待定系數法）設橢圓在P處的切線方程y=kx+b,將點P坐標代入得：，即4k+b7=3①.由令Δ=0得b2=4k2+3②，由①②得k=-1,b=7，所以，橢圓在P處的切線方程為x+y-7=0.

解法2：（光學性質+角平分線性質1）設點D(xD,0)，PD平分∠F1PF2.結合解法1及角解得故kPD=1.故橢圓C在P點處的切線的斜率為-1.所以，橢圓在P處的切線方程為x+y-7=0.

2.3 整體思考求解

圖2

3 練習

已知F1,F2分別是的左右焦點，P是橢圓上一點（異于左右頂點），過P作的∠F1PF2平分線交x軸于點M，若2|PM|2=|PF1||PF2|，則橢圓的離心率