賞析如出一轍的五道高考圓過定點題

云南省玉溪第一中學 武增明 653100

試題1（2008年高考江蘇卷文科數(shù)學理科數(shù)學第18題）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩個坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三點的圓記為C（.Ⅰ）求實數(shù)b的取值范圍；（Ⅱ）求圓C的方程；（Ⅲ）問圓C是否經(jīng)過定點（其坐標與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.

試題2（2009年高考江西卷理科數(shù)學第21題）已知點P1(x0,y0)為雙曲線1（b為正常數(shù)）上任一點，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于點P2（.Ⅰ）求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；（Ⅱ）設(shè)軌跡E與x軸交于B,D兩點，在E上任取一點Q(x1,y1)(y1≠0)，直線QB,QD分別交y軸于M，N兩點.求證：以MN為直徑的圓過兩定點.

試題3（2010年高考四川卷理科數(shù)學第20題）已知定點A(-1,0),F(2，0)，定直線，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B,C兩點，直線AB,AC分別交l于點M，N（.Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

圖1

試題5（2019年高考北京卷理科數(shù)學第18題）已知拋物線C:x2＝-2py經(jīng)過點(2，-1).（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y＝-1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

試題1賞析：（Ⅰ）顯然b≠0.否則，二次函數(shù)f(x)＝x2+2x+b的圖象與兩個坐標軸只有兩個交點(0，0)，(-2，0)，這與題設(shè)不符.由b≠0知，二次函數(shù)f(x)＝x2+2x+b的圖象與y軸有一個非原點的交點(0,b)，故它與x軸必有兩個交點，從而方程x2+2x+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，因此方程的判別式4-4b＞0，即b＜1.所以b的取值范圍是(-∞，0)∪(0，1).

（Ⅱ）由方程x2+2x+b=0，得x=-1±.于是二次函數(shù)f(x)＝x2+2x+b的圖象與坐標軸的交點是設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因圓C過上述三點，將它們的坐標分別代入圓C的方程，得方程組，因b≠0，得的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b＝0.

（Ⅲ）圓C過定點.假設(shè)圓C過定點(x0,y0)（x0,y0不依賴于b），將該點的坐標代入圓C的方程，并變形為x20+y02+2x0-y0+b(1-y0)＝0（*）.為 使（*）式 對 所 有 滿 足b＜1（b≠0）的 b都 成 立，必 須 有1-y0＝0，結(jié)合（*）式得x20+y02+2x0-y0=0.解得經(jīng)檢驗知，點(0，1)，(-2，1)均在圓C上.因此圓C過定點.

試題2賞析：（Ⅰ）由已知得F2(3b，0),(x-3b)，令x＝0得y＝9y0，即P2(0，9y0).設(shè)跡E的方程為

故存在定點M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

試題1的第（Ⅲ）問及試題2、試題3、試題4、試題5的第（Ⅱ）問都是解析幾何中的動圓恒過定點問題，從賞析過程中，已經(jīng)為我們?nèi)绾谓鉀Q解析幾何中的動圓恒過定點問題指出了求解思路.其主要解答思路是，抓住直徑所對的圓周角是直角，進而抓住兩條線段垂直，進一步得這兩條線段對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零，于是把問題轉(zhuǎn)化為恒等式問題，這時的解答思路與判斷動直線是否恒過定點一樣，湊定值獲解.試題1的第（Ⅲ）問及試題2、試題3、試題4、試題5的第（Ⅱ）問求解過程中都使用了兩個非零向量垂直的定義.與上述試題如出一轍的還有以下試題6，讀者不妨自己試一試.

試題6（2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預(yù)賽試題第13題）已知雙曲線，設(shè)其實軸端點為A1，A2，點P是雙曲線上不同于A1，A2的一個動點，直線PA1，PA2分別與直線x＝1交于M1，M2兩點.證明：以線段M1M2為直徑的圓必經(jīng)過定點.