例談變換在高中數學的應用

廣東省廣州市花都區第二中學 楊偉達 510800

在解題教學中，轉化與化歸是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式．其中變換是轉化和化歸的一種形式，在解題中常常用到．形如變換位置、變換數值、變換視角等，它往往會激起學生的思維火花，開啟數學思維之門，在解題中起到四兩撥千斤的效果．

1 變換位置

有這樣的一類幾何題，直接用傳統方法求解、證明往往比較困難，此時需要轉化思路，在確保原式不變的前提條件下，變換一個位置，問題就會迎刃而解.變換位置常有變換點、變換線、變換角等．

1.1 換點

在等價條件下，用某個點替換另一點達到快速解題.這一方法是在立體幾何中解決線面距離問題時的常規手法．

例1（2019屆廣州市高三年級調研測試19）如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF//AB，AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,∠BAD=60°，G為BC的中點.（1）求證：FG//平面BED；（2）求證：BD⊥平面AED；（3）求點F到平面BED的距離.

分析：利用傳統方法作垂線求點F到平面BED的距離比較困難，不妨利用線面平行的性質，轉移到另一點位置，從而轉化為求另一個點到面的距離（方便求得）.再利用等體積法間接求高．

圖1

圖2

解：（1）略．（2）略．

（3）如圖2，由（1）FG//平面BED所以點F到平面BED的距離轉化為點G到平面BED的距離，不妨設點G到平面BED的距離為h，過E作EM⊥DA，交DA的延長線于M則EM⊥平面ABG，所以EM是三棱錐E-ABG的高，在△ADE中

1.2 換線

有這樣的一類題，在涉及線段長度之和時，常用某一線段替換另一線段，以直代曲，從而方便解題.比如幾段線段之和求距離的最值問題在幾何試題中時常用到換線．

例2 （2019年廣東一模15）在三棱錐P-ABC中，AP，AB，AC兩兩垂直，且AP=AB=AC=2，若點D，E分別在棱PB，PC上運動（都不含端點），則AD+DE+EA的最小值為_____.

分析：本題考查了立體幾何兩動點問題，涉及兩段或兩段以上的線段之和，通常采用以直代曲即可解決.本題最根本的辦法是轉化為同一平面，找對稱、找全等，替換某線段長度，最終達到兩點間線段最短．

圖3

解：如圖3，點P，B，C確定一個平面α因為AP，AB，AC兩兩垂直，且AP=AB=AC=2所以△PAC,△PAB均為等腰直角三角形，所以∠DPA=∠EPA=45°,BC=2,AF=BF=FC=1.在Rt△PAF中，PF=3，在Rt△PFC中，PF=3，FC=1，所以，所以∠PFC=30°.在平面α內，分別過點P作輔助線PM,PN，滿足PM=PN=2，且∠CPM=∠BPN=45°,由此△PAE?△PME，△PAD?△PND，所以AE=ME，AD=ND，所以AD+DE+EA=ND+DE+EM，當且僅當點N，D，E，M在同一直線時，AD+DE+EA取得最小值，在Rt△POM中，∠OPM=75°，PM=2,OM=同理，ON=PNsin75°=，所以即AD+DE+EA的最小值為

1.3 換角

有這樣的一類題，在等價條件下，通過平移（或者替換）一條線段或兩條線段，達到角的變換，進而可將問題解決.比如空間角轉化為平面角、弦切角、圓周角等等．

例3（2018全國卷2）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（ ）.

分析：在涉及求異面直線夾角時，常常平移直線到某一點．解題的策略是異面問題轉化為平面問題，找到平面上的點，進而找到異面直線的夾角．

圖4

解：補上如圖4所示的長方體CDEF-C1D1E1F1，連接DE1，B1E1易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，故選C．

2 變換數值

有這樣的一類題，直接解題比較困難，發現與某一結構類似，比對結構，通過缺什么補什么，發現某值可以用另一種形式替換，變換數值后，結構形式齊整，用熟悉的方法即可將問題解決．

分析：可將1替換成sin2α+cos2α，采用弦化切，原式可化為含有正切的函數式，代入，計算，求值.

圖5

3 變換視角

有這樣的一類題，可以從多角度思考，變換視角后，發現這一式子可以用另一個視角去審視、去思考，此時解題就會豁然開朗．比如數形轉換、主元轉換、函數與方程轉換等等，這樣方法就另辟蹊徑，簡單明了，對解題起到事半功倍的效果．

例5（2020花都區高一期末統考）在等