例談三角形中面積最值問(wèn)題的解決策略

廣東省梅縣東山中學(xué) 鐘國(guó)城 514017

三角形中面積最值問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容.三角形面積最值問(wèn)題全面而突出考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式、平面幾何與解析幾何等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及解三角形、求函數(shù)最值等基本方法，又滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.解三角形中面積最值問(wèn)題在高考中主要以三種類型出現(xiàn)，下面分別對(duì)三種類型進(jìn)行不同角度的分析，總結(jié)求解策略，以期對(duì)大家有所幫助.

類型一：已知三角形一邊及其對(duì)角

例1（2014年高考全國(guó)I理16）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為

思路1：利用余弦定理得到角A及b，c之間的等式，使用基本不等式與面積公式得到面積的最大值.

解法1：由a=2且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，得(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c，即b2+c2-a2=bc.由余弦定理得bc=4，由基本不等式得4=b2+c2-bc≥2bcbc=bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)），所以即△ABC面積的最大值為

思路2：利用正弦定理用角B，C表示邊b，c，使用基本不等式、琴生不等式與面積公式得到面積的最大值.

思路3：利用正弦定理與面積公式，結(jié)合定理：“三角形內(nèi)角和等于π”，把面積表示為關(guān)于角的三角函數(shù)，使用三角函數(shù)的性質(zhì)求得面積最大值.

思路4：通過(guò)建立坐標(biāo)系，引入B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合角A與邊AB，AC所在直線斜率的關(guān)系，得到點(diǎn)A的軌跡，根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求得面積的最大值.

如圖1，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則有B( - 1,0) ，C(1 ,0).設(shè)A(x,y)，則當(dāng)x≠±1時(shí)因?yàn)閠anA=

思路5：利用正弦定理得到△ABC的外接圓，根據(jù)點(diǎn)A的變化與外接圓的性質(zhì)求得面積的最大值.

圖1

圖2

評(píng)注：對(duì)于類型一，可以從五個(gè)角度入手，一是通過(guò)運(yùn)用余弦定理得到邊的關(guān)系等式，再利用基本不等式得到最值；二是通過(guò)正弦定理把邊化為角，再利用基本不等式與琴生不等式得到最值；三是通過(guò)正弦定理把邊化為角，再利用三角形內(nèi)角和定理，把面積最值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值；四是通過(guò)建立坐標(biāo)系，結(jié)合題設(shè)條件得到動(dòng)點(diǎn)軌跡，再利用軌跡的特點(diǎn)得到面積的最值；五是通過(guò)題設(shè)條件發(fā)現(xiàn)三角形的外接圓為定圓，利用數(shù)形結(jié)合和圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，非常直觀地得到三角形面積的最值，而且可以看出此種類型的背景是三角形的外接圓，充分利用外接圓的性質(zhì)對(duì)于解題有事半功倍的效果.

類型二：已知三角形一邊及其他兩邊關(guān)系

例2 （2008年高考江蘇13）若AB=2，AC=2BC，則△ABC面積的最大值為

思路1：利用余弦定理和面積公式，把面積表示為關(guān)于邊的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得到面積的最大值.

思路2：通過(guò)建立坐標(biāo)系，引入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)邊的關(guān)系，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再利用軌跡的特點(diǎn)得到面積的最大值.

解法2：以AB所在直線為x軸，邊AB的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-1,0)，B(1,0).設(shè)C(x,y)，則由整理得(x-3)2+y2=8(y≠0)，所以點(diǎn)C的軌跡是以(3,0)為圓心，22為半徑的圓（除去x軸上的點(diǎn)），如圖3可知，點(diǎn)C到AB的距離的最大值為22，所以△ABC面積的最大值為

圖3

評(píng)注：對(duì)于類型二，上述兩種解法較為常見(jiàn)，一是通過(guò)余弦定理和面積公式把面積表示為關(guān)于邊的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)得到最值，不過(guò)此法運(yùn)算量大，運(yùn)算過(guò)程較為復(fù)雜，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤；二是通過(guò)建立坐標(biāo)系，利用解析幾何的方法得到動(dòng)點(diǎn)軌跡，通過(guò)數(shù)形結(jié)合與軌跡的特點(diǎn)得到三角形面積的最值.在△AnBnCn中，BnCn=an=a，AnBn+AnCn=bn+cn=2a，則點(diǎn)An的軌跡是以Bn,Cn為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為如圖

類型三：已知三角形周長(zhǎng)及其中一邊長(zhǎng)

4，當(dāng)點(diǎn)An與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)An到BnCn的距離最大，即Sn最大，此，即Sn的最大值為

圖4

評(píng)注：通過(guò)對(duì)題目條件的分析得到點(diǎn)An的軌跡是橢圓，利用橢圓的性質(zhì)求得Sn的最大值.由此可見(jiàn)，此種類型的背景是橢圓，借助的橢圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行解題非常直觀有效.