數列單調性判別九法

浙江省嘉善第二高級中學 魯和平314100

在高中數學里，函數的單調性非常引人矚目.但數列的單調性卻是默默無聞的．隨著遞推數列及數列不等式的深入研究和頻繁登場，數列的單調性逐漸映入人們的視線.在此，總結數列單調性的常見判別方法.

1 定義法

例1 已知數列{an}滿足(n∈N*)且a1=2.（1）求證：（2）求證：an＜an+1.

解：（1）由a1=2歸納易得：an＜3對任意n∈N*成立.故3+2an=

2 作差比較法

例2 設數列{an}滿足試判斷數列{an}的單調性．

3 作商比較法

例3 已知數列{xn}滿足x1=1,xn+1=求證：數列{xn}(n≥2)是單調遞減數列．

4 倒數比較法

例4已知數列{an}滿足設sn為{an}的前n項和.證明：

（1）an+1≤an；（2）sn＜2.

5 均值不等式法

6 遞推法

7 導數法

8 構造函數法

9 數學歸納法

例10 已知數列{an}滿足求證：

證明：先用數學歸納法證明0＜an＜1,當n=1時，，結論成立；假設當n=k時結論成立，則故，所以n=k+1時結論成立．