用因式分解處理一類函數零點問題

云南省玉溪第一中學 李富春 653100

在導函數中，有一類函數零點（方程實根）問題，直接整體求導、分離參數、分離函數、局部分離函數，計算量都很大，甚至幾乎不能求解.若用因式分解，將大大減少計算量，能快速求解，且是通法.下面舉例說明.

例1 函數f(x)＝(x2-ax)ex-ax+a2（e為自然對數的底數，a∈R，a為常數）有三個不同零點，則a的取值范圍是（ ）.

解析：令f(x)＝0，則(x2-ax)ex- ax+a2＝(x-a)(xex-a)＝0，故f(x)＝(x2-ax)ex-ax+a2有三個不同零點?x-a＝0或xex-a=0共有三個不等根?直線y＝a與y＝x和y＝xex的圖象共有三個交點.

圖1

在同一坐標系中，作出y＝x與y＝xex的圖象，由直線y＝a與y＝x有一個交點，故直線y＝a與y＝xex有兩個交點.

令g(x)＝xex，則g′(x)＝(x+1)ex，故g(x)在(-∞，-1]遞減，在(-1，+∞)遞增，且g(x)min=如圖1，當時，直線y=a與y=xex有兩個交點；當a＞0時，直線y＝a與y＝xex只有一個交點.因此a的取值范圍為故選A.

評注：該題是通過因式分解、分離變量，轉化為熟悉的基本函數y＝a與y＝x和y＝xex，運用數形結合的數學思想去求解問題，思路樸素、自然.

A.2 B.3 C.4 D.5

解析1：原方程變形為(x2-3)2-2ex-1?(x2-3)-3e2x-2＝0，分 解 因 式 得(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0，則有x2-3-3ex-1＝0或x2-3+ex-1＝0，即x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-，則原方程根的個數可轉化為函數的圖象與直線y＝-1和y＝3交點的個數.

圖2

或x2-3+ex-1＝0，即x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-1，即原方程根的個數可轉化為函數F(x)＝x2-3的圖象與函數g(x)=3ex-1和函數h(x)＝-ex-1的圖象交點的個數，在同一平面直角坐標系中畫出這三個函數的圖象，如圖3所示，顯然F(x)＝x2-3與h(x)＝-ex-1的圖象有2個交點.

圖3

當x≤0時，函數F(x)＝x2-3與g(x)＝3ex-1的圖象有1個交點，當x＞0時，令函數，則，當0＜x＜3時，f′(x)＞0，當x＞3時，f′(x)＜0，所以當x＝3時，f(x)取最大值，且最大值為?，即，則即3ex-1＞x2-3，即當x＞0時，函數g(x)=3ex-1的圖象都在函數F(x)＝x2-3圖象的上方，即函數g(x)＝3ex-1的圖象與F(x)＝x2-3的圖象沒有交點.所以原方程根的個數為3.選B.

評注：解析1思維導圖：將原方程變形分解因式→(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0→x2-3-3ex-1＝0或x2-3+ex-1＝0→轉化為函數的圖象與直線y＝-1和y＝3交點的個數→研究函數的單調性和極值→畫出函數f(x)的大致圖象→觀察圖象確定與直線y＝-1和直線y＝3交點的個數→原方程根的個數.

解析2思維導圖：將原方程變形分解 因 式→(x2-3-3ex-1)(x2-3+ex-1)＝0→x2-3＝3ex-1或x2-3＝-ex-1→轉化為函數F(x)＝x2-3的圖象與函數g(x)＝3ex-1和函數h(x)＝-ex-1的圖象交點的個數→在同一平面直角坐標系中畫出三個函數圖象→觀察函數圖象及函數特征確定交點的個數→原方程根的個數.

例3（2013年高考安徽卷理科數學第10題）若函數f(x)＝x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2，且f(x1)＝x1，則關于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實根個數是（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:把f(x)看成一個未知數，利用求根公式因式分解，由3(f(x))2+2af(x)+b＝0,得

于是，關于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實根個數?關于x的方程f(x)=的不同實根個數?常數函數與函數f(x)＝x3+ax2+bx+c的圖象的不同交點個數.

依題意，得x1，x2是關于x的方程3x2+2ax+b＝0的兩個不同實根，所以x1，x2＝此時函數f(x)＝x3+ax2+bx+c的模擬圖象如圖4.這時常數函數和與函數f(x)＝x3+ax2+bx+c的圖象的不同交點個數是3?關于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實根個數是3.當x1＞x2時，此 時 函 數f(x)＝x3+ax2+bx+c的模擬圖象如圖5.這時常數函數與函數f(x)＝x3+ax2+bx+c的圖象的不同交點個數是3?關于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實根個數是3.

圖4

圖5

綜上，選A.

評注:（1）此題的姊妹題是2013年高考安徽卷文科數學第10題：若函數f(x)＝x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2，且f(x1)＝x1＜x2，則關于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b＝0的不同實根個數是().

A.3

B.4

C.5

D.6

（2）此類題型的解法，筆者在各種數學資料中見到的與上述解法都不一樣，筆者認為上述解法容易被學生接受.

例4（2009年高考福建卷理科數學第10題）函數f(x)＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象關于直線對稱.據此可推測，對任意的非零實數a，b，m，n，p，關于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0的解集不可能是（ ）

A.{1，2} B.{1，4}

C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}

解析：把f(x)看成一個未知數，利用求根公式因式分解，由m(f(x))2+nf(x)+p＝0，得＝0，所以.從而，關于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p=0的不同實數根個數?關于x的方程f(x)=的不同實數根個數?常數函數與函數f(x)＝ax2+bx+c的圖象的不同交點個數，如圖6.

圖6

因為函數f(x)＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象關于直線對稱，所以一元二次方程ax2+bx+c＝0的解關于直線對稱.據此可推測，關于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0的解僅關于一條直線對稱，即對稱軸有且只有一條.假若方程的解集是{1，4，16，64}，則如1與64關于直線對稱，4與16關于直線x＝10對稱，于是選項D不可能是方程的解集，故選D.

評注:若把關于x的方程m(f(x))2+nf(x)+p＝0中的f(x)用ax2+bx+c來替換，然后去判斷其方程的根的可能情況，這樣一來，不僅運算量繁、大，甚至解答不了.解題時，有路可走，走了以后發現不好走，要立即停下來考慮是否繼續往下走？

上述題型源于2005年高考上海卷理科數學第16題：設定義域為R的函數f(x)＝則關于x的方程(f(x))2+bf(x)+c＝0有7個不同實數的充要條件是（ ）

A.b＜0且c＞0 B.b＞0且c＜0

C.b＜0且c＝0 D.b≥0且c＝0

此類題是2005年高考上海卷涌現出的新題型，是當年的難題，時隔15年，回過頭去看看，也仍然不簡單.筆者查閱了大量的資料，發現給出的解答非常繁瑣，十分抽象，學生很難接受.為了能讓同學們有點滴啟示和收獲，下面筆者給讓此題的簡解通法.

圖7

評注（:1）在此題中b2-4c≠0為什么？留給讀者考慮（.2）根據此題的題設，可求出關于x的方程(f(x))2+bf(x)+c＝0的7個不同的實數解，也可求出這7個不同實數解之和是多少，怎么求？留給讀者去思考.

由上述幾例的解答，我們可以總結出：已知函數f(x)的解析式，關于x的方程a(f(x))2+bf(x)+c＝0(a,b,c∈R,且a≠0)有幾個實數根，求實數a,b,c的取值范圍或求方程的實根.解決此類問題的簡捷通法是，先利用導函數畫出或直接畫出函數f(x)的模擬或大致圖象，然后把f(x)看成一個未知數，利用求根公式因式分解，由a(f(x))2+bf(x)+c＝0,得＝0，所以，最后把問題轉化為函數圖象的交點問題，即考慮常數函數和與已知函數f(x)的圖象的交點情況.

新課程理念下，注重解題的通性通法，反對過分技巧化的訓練.用上述方法解決此類問題，直觀、形象、明了、容易理解、便于操作、易被學生掌握，是一種很好的通法.