染色問題新解

甘肅省慶陽市第三中學 徐永毅

求解染色問題，基本思路如下：

第一，將各區域編號；

第二，簡化圖形，將相鄰部分用短線連接；

第三，將不相鄰的兩個編號寫在一起，用顏色種類的多少分析、分類。

“實踐是檢驗真理的唯一標準。”下面提供兩道典型例題，對以上三個解題步驟加以具體分析，化繁為簡，輕松解決染色問題。

例1：某城市中心廣場建造一個花圃，花圃分為6 部分（如圖1所示）。現在要栽種四種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同種顏色的花，不同的栽種方法有多少種？

分析：①將各區域編號，如圖2 所示；

②化簡圖形，如圖3 所示；

③不相鄰區域的編號組有（2,4）、（2,5）、（3,5）、（3,6）、（4,6），由于用4 種顏色的花栽6 個區域，所以要有兩個不相鄰組（6-4=2）栽同色花，因此要將上述5 組重新分組組合（含相同編號的不能分到同一組），即[（2,4），（3,5）]、[(2,4),(3,6)]、[(2,5),(3,6)]、[(2,5),(4,6)]、[(3,5),(4,6)]5 組，現從這5 組中任選一組，共有 種選法，不妨設取出的是[（2,4），（3,5）]，此時將6 個區域分成（2,4）、（3,5）、（1）、（6）四個區域，用4 種顏色的花栽這四個區域有 種可能，因此，此題總共有 種不同的栽種方法。

例2：如圖4 所示，將一個四棱錐每一個頂點染色，并使同一條棱上的兩端點異色，并只有5 種顏色可供使用，則不同的染色方法總數有多少種？

分析：區域編號、簡化圖形分別如圖5、圖6 所示。

①當5 種顏色全部使用時，有 種染法。

②當用4 種顏色染色時，只能有一個不相鄰組（5-4=1）染同色。而不相鄰組有（2,4）、（3，5）兩組，從兩組中選一組，有 種方法，不妨設取出的是（2,4），此時將5 個區域分成（1）、（3）、（5）、（2,4）四個區域，從5 種顏色中取出4 種顏色，有 種方法，用這4 種顏色染這四個區域，有 種方法，因此，總共有 種方法。

③當用3 種顏色染色時，必有兩個不相鄰組（5-3=2）染同色。而不相鄰組有（2,4）、（3,5）兩組，從兩組中任選兩組，有 種方法，即取出（2,4）、（3,5），此時將5 個區域分成（2,4）、（3,5）、（1）三個區域，從5 種顏色中取出3 種顏色，有 種方法，用這3 種顏色染這三個區域，有 種方法，因此，總共有 種方法。

由①②③知，共有 + + =420（種）染法。

通過對以上兩道例題的解析，相信大家對解決染色問題的三個基本步驟有了更深的了解。其實表面上看很復雜、煩瑣的問題，往往有“跡”可尋，只要認真思考，掌握染色問題的解題思路，這是解答染色問題的關鍵。

通過以上兩例的分析，相信大家已經掌握了“新”解染色問題的方法，下面提供兩道習題操練一下吧！

練習：

（1）如圖7 所示，用五種不同顏色分別給A、B、C、D 四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法有幾種？（答案：180 種）

（2）如圖8 所示，一個地區分為5 個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4 種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（答案：72 種）

怎么樣，做起來是不是有種茅塞頓開的感覺呢？其實還是那句古訓“世上無難事，只怕有心人”。學習要善于總結和積累，題做得多了，自然熟能生巧，就能悟出“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的道理。

筆者為大家提供的染色問題“新”解法，我們親切地稱它為“染色三部曲”，該解法具有很強的普遍性，大多數染色問題都可利用它來解決。通過以上分析解答，相信大家能掌握一些解決染色問題的技巧，通過刷題提高分析推理能力，順暢解決染色問題。