空間機械臂連桿—關節質量比和慣量比影響分析

程文華,李 智

(航天工程大學， 北京 101416)

近些年來，隨著航天技術的不斷發展，空間目標數量大幅增長，特別是低軌微小衛星星座的快速發展，更加劇了人們對近地空間安全的擔憂[1-2]。為了維護空間安全，各國都積極發展在軌服務和主動空間碎片清除技術[3]。而空間機械臂是其中重要的組成部分，利用機械臂對目標進行抓捕，進而實現在軌維修或軌道轉移是當前研究的熱點[4-5]。但是，由于發射質量的限制[6]，空間機械臂的重量要盡可能的輕；另一方面，機械臂系統可以看成由一系列的關節和連桿組成，連桿和關節的質量比影響著質心的位置，進而影響整個機械臂系統的模型及其運動學和動力學響應。但在以往的研究中，常常將關節質量視為0，主要考慮連桿的質量，或者將質心安置于連桿中心，忽略了連桿—關節質量關系及其對系統的影響。因此研究機械臂連桿—關節質量比和慣量比及其影響具有重要的現實意義。

Gaultier等[7]在建模過程中考慮了集中質量，但沒有進一步分析其對動力學特性和控制系統響應的影響；文獻[8]雖然進一步研究了機器集中質量對機器人振動特性的影響，但仍舊沒有對控制系統的響應進行分析。王洪福等[9]將連桿簡化成沒有質量的桿，將連桿質量集中到末端集中質量上，并對模型進行了動力學分析，并與模態展開法進行了比對，但研究缺乏系統性。Kucuk等[10]利用遺傳算法研究了三連桿機械臂的最優質量分布。在動態負載能力分析方面，楊瑞鵬[11]通過研究得出負載質量的變化會對機械臂的運動控制產生較大的影響；譚堅強等[12]在其基礎上研究了極限負載對機器人軌跡控制的影響。曾向陽通過對動態負載能力的分析，提出一種基于動態負載的機械臂結構參數優化方法[13]。劉廣瑞等[14]分析了末端質量和關節轉動慣量對機械臂運動穩定性的影響。Korayem等[15-17]系統研究了柔性機械臂最大動態負載能力問題，得出了一系列的結論。

可見，直接研究機械臂連桿—關節質量比和慣量比及其對控制系統的影響的文獻較少，且大多數集中在分析動態負載對機械臂系統動力學特性的影響上，缺乏對控制系統響應的系統性分析。本文重點研究空間機械臂連桿—關節質量關系及其對控制系統響應的影響，以期對連桿—關節組系的質量分配和構型設計提供依據。

1 機械臂系統建模

機械臂系統可以看成由一系列的關節和連桿組成，本文將每個關節及其之后的連桿分別構成一個連桿—關節組系。以平面肘型機械臂為例，其示意圖如圖1。

圖1 肘型機械臂示意圖

其中，q為關節轉角，L為連桿長度，C表示關節位置到組系質心之間的距離，I為組系繞其質心的轉動慣量。不失一般性，假設機械臂兩連桿質量和長度都一樣，且關節處半徑與連桿寬度一致。設關節的質量為mj，連桿質量為ml，易得

(1)

其中

(2)

設連桿密度與關節密度比為kρ，且L=10R，則連桿和關節的質量比和慣量比可以表示為

(3)

將式(3)代入式(1)，可以得到

(4)

將DH關節變量[18]當做廣義坐標，利用拉格朗日方程[19]，可以得到系統的動力學方程為

(5)

其中

當忽略關節質量或者關節質量遠遠小于連桿質量時，即kρ趨向于無窮，此時有

(6)

而如果將組系的質心直接置于連桿中心時，進而計算響應的慣量，有

與kρ趨向于無窮結果一致

反之，可以得到直接將組系質心置于關節中心處與忽略連桿質量或者連桿質量遠遠小于關節質量，即kρ趨向于0一致，均為

(7)

控制系統采用經典的PD控制[20]，即

(8)

其中

KP=0.04I

KD=30KP

(9)

2 仿真實驗與分析

利用Matlab進行編程，對模型進行仿真。設初始條件和最終目標分別為

q0=(0;0)

qf=(30°;30°)

分析不同密度比下(kρ取10-8～104)系統的動態響應，其響應曲線如圖2和圖3所示。

圖2 關節1角度響應曲線

圖3 關節2角度響應曲線

以關節1角度響應曲線分析系統性能指標[21]，包括峰值時間、超調量、上升時間和調節時間，如圖4～圖7所示。

圖4 峰值時間隨密度比變化曲線

圖5 超調量隨密度比變化曲線

圖6 上升時間隨密度比變化曲線

圖7 調節時間隨密度比變化曲線

從圖4～圖7這些圖中可以發現，隨著密度比的增大，性能指標都呈現出從一種平穩狀態，先減小后增大，最后趨于另一種平穩狀態的變化情況。最開始時，系統性能指標最大，最大分別為228.5 s、51%、129.8 s和967.8 s；當密度比為0.15左右時，質量比約為1時，性能指標最小，分別為91.5 s、5.5%、66.3 s和101.9 s，控制系統的效果最好；隨著密度比的進一步增大，系統性能指標進入另一種穩定狀態，穩定之后的峰值時間、超調量、上升時間和調節時間分別為105.3 s、19.08%、70.1 s和157.3 s。直接將組系質心置于連桿中心或者關節質量遠遠小于連桿質量時，kρ趨向于無窮，系統性能與第二種平穩狀態一致；而直接將組系質心置于關節中心或者連桿質量遠遠小于關節質量時，kρ趨向于0，此時，系統性能與第一種平穩狀態一致。另一方面，以控制力矩積累作為能量消耗指標，分析隨密度比變化的最大控制力矩和能量消耗，如圖8所示。

圖8 上升時間隨密度比變化曲線

從圖中可以看出能量消耗先減小后增大，也呈現出兩端平穩狀態，最小值出現在密度比為0.01附近。

當系統性能指標和穩態性能指標的差值在5%以內時，假定兩個系統近似相同。系統的非穩態密度比區間可以由各指標的非穩態區間合并而成，由圖中可以得到系統的非穩態密度比區間為(0.000 1～10)，則系統的穩態密度比區間為(0～0.000 1)和(10～∞)。于是，系統的穩態質量比區間和慣量比區間為

km-steady?(0～0.000 6)∪(60～∞)

kI-steady?(0～0.01)∪(1 000～∞)

上式表明，當連桿—關節質量比小于0.000 6且慣量比小于0.01時，在系統建模過程中，可以將組系質心直接置于關節處，不會對系統造成影響；反之，當連桿—關節質量比大于60且慣量比大于1 000時，則可以將組系質心置于連桿中心。因此，在空間機械臂上天之前，對其質量和慣量進行合理分配有助于簡化系統模型，提高效率。

3 結論

利用幾何關系，將平面肘型機械臂的質量比和慣量比轉化為連桿與關節的密度比。隨著密度比的變化，系統的動態響應從一種穩態進入到另一種穩態，據此進行連桿—關節組系的質量分配和構型設計，有助于簡化機械臂系統的建模，提升系統性能。