高中數學教學中分類討論思想的應用

新疆生產建設兵團第一師高級中學 任光萍

高中數學教學中，分類討論教學思想適用于存在多種解題可能性的題型解答過程當中。這種題型不可通過一種思維將解答過程描述完整，因此需要將問題按照特定的條件或者標準劃分，形成多個獨立的問題，最后將所有的解題過程綜合起來，確定出結果。教學環節應用此思想可培養學生的邏輯思維，簡化數學問題，為學生解題提供思路，提高解題效率。

一、分類討論在高中數學教學中的應用要求

高中數學中分類討論教學思想的應用應按照特定要求進行，才能確保分類過程的正確性。首先，遵循同一性，在同一次分類過程需依照特定標準和依據進行。其次，遵循互斥性，即分類之后，各個分項代表的含義互相排斥，元素只屬于一個子項當中。再次，遵循相稱性，分類之后子項的并集需要和母項子項相等。最后，遵循層次性，分類過程包括一次、多次分類，其中一次分類之后，對分類對象進行一次討論；多次分類之后，分別對各個子項展開討論，并將其作為母項繼續分類，直到討論結果滿足要求。

二、高中數學教學分類討論應用范圍

在應用分類討論時，應明確此教學方法的適用范圍，掌握正確討論的因素。例如，數學概念、性質、定理、公式、圖形、參數等問題具有不確定性，因此可應用此解題思想。其中在概念方面，可按照絕對值、不等式、二次函數、直線傾斜角等限制因素展開分類討論；在性質方面，可對函數單調性以及不等式等展開討論；在圖形方面，可對指數函數、對數函數、二次函數等圖像展開討論；在參數方面，可針對參數取值的差異性，合理選取數學題型的求解方式。

三、高中數學教學分類討論的具體應用

（一）細分討論步驟

高中數學的邏輯性較強，在教學環節，分類討論思想的應用需要對討論類型加以細化，細化討論步驟，明確此方法的應用方向，促使學生高效運用其解決實際問題。通常情況下，分步討論需要三個步驟：首先，對討論對象的屬性加以分析，進一步確定其范疇。在高中數學中，分類討論的對象主要有五種，其一，當討論對象概念或者屬性具備分段性質，當涉及討論對象絕對值、值域時，對象為分段函數或者反比例函數的時候，可進行分類討論；其二，當討論對象是各種不確定的值共同組成的圖像或者函數時，可進行分類討論；其三，當討論對象的運算存在多重性，涉及偶數開平方、除數為零、正負解情況以及向量乘積時，可使用分類討論；其四，當討論對象為幾何圖形時，且圖形存在相鄰、相交或者相切等關系時，可展開分類討論；其五，當討論對象為應用題、消耗問題或者排列組合問題時，可進行分類討論。其次，針對不同的討論項目展開精細化分析，按照逐級分類的方法，細化各個子項目，保證討論過程的嚴謹性。最后，對各個討論結果展開總結和驗證，確保討論過程言簡意賅。

（二）解決不等式問題

講解不等式相關題型過程中，常常需要將不等式進行變形或者轉化，例如求解不等式的解集時，可先對原不等式展開分析，在化簡過程如果涉及去根號的問題，在化簡時應將不等式兩邊“同正”情況考慮其中，這樣才能在分別“平方”的過程中，保證不等號的方向不發生改變，之后運用分類討論的思想展開討論。

（三）解決排列組合問題

高中數學教學中，排列組合問題的求解過程，常常含有各類約束條件，使問題呈現出復雜性特征。使用分類討論這一解題思想，可有效將問題簡化，為學生提供明確的解題思路，提高數學問題的求解速度。

例如，講解這樣一道和排列組合相關的題型當中：在正方體中選取8個頂點、6面中心點、12棱中點以及正方體中心點，總共27個點，其中三點共線的個數有幾個？在講解這道習題時，可使用分類討論的思想，按照題意，可將三點共線劃分成三個種類。

第一種：由棱中點作為兩個端點，三點共線個數為12×3÷2=18（個）；

第二種：由兩個端點作為頂點，三點共線的個數為8×7÷2=28（個）；

第三種：由面中心為兩個端點，三點共線的個數為6×1÷3=2（個）。

綜合以上三種情況，三點共線個數為18+28+2=48（個）。

四、結語

總而言之，在高中數學教學過程中，分類討論這種思想的應用范圍較為廣泛，此思想的運用可化簡復雜的數學問題，促使學生解題思路更加清晰，突破固有解題模式的限制，培養學生數學思維。因此，教師在授課環節，應重點指導學生應用這種解題思想，解決解題過程面臨的困難，以高效的方式學習數學知識，提高課堂實效。