例談二次函數教學中“數形結合”思想的應用

黃賢瓊

摘要：“數形結合”是一種重要的數學思想，在初中函數教學中有著重要的作用。在二次函數教學中，滲透“數形結合”這種重要的數學思想，對于解決二次函數問題尤為重要。“數形結合”的本質是：利用幾何圖形的性質反應數量關系，而數量關系決定了幾何圖形的性質，通過“以形助數”或者“以數解形”的方式來解決問題，起到事半功倍的效果。

關鍵詞：數形結合 數學思想 二次函數

著名數學家華羅庚說過：數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數無形時少直覺，形無數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離。“數形結合”是一種重要的數學思想，在初中函數教學中有著重要的作用。二次函數是繼一次函數后，初中學生學習函數的一個難點，也是中考的一個熱點。那么在二次函數教學中，滲透“數形結合”這種重要的數學思想，對于解決二次函數問題尤為重要。“數形結合”的本質是：利用幾何圖形的性質反應數量關系，而數量關系決定了幾何圖形的性質，通過“以形助數”或者“以數解形”的方式來解決問題，起到事半功倍的效果。筆者從以下幾個角度來闡述二次函數教學中“數形結合思想”的應用。

一、“以形助數”，充分利用二次圖像解決函數性質

《二次函數》教學中，實現“數形結合”的途徑是充分把握好二次函數圖像與性質的關系。“以形助數”是要根據問題的已知條件，解讀暗含的數據信息，準確的畫出函數的圖像，然后直觀的形象的分析，利于找出解決問題的思路。

例如，已知二次函數圖像與x軸的交點的橫坐標為1，當x=2時有最小值-1，求此二次函數的解析式。

解析：根據題目的已知條件，分析關鍵點，可以得到圖像的特征。二次函數的圖像是拋物線，我們畫出圖形，如下圖所示。根據圖形我們知道二次函數圖像與x軸交點為（1，0），頂點為（2，-1），對稱軸是x=2，利用拋物線的對稱性，我們可以得出二次函數與x軸的另一個交點為（3，0）。然后利用待定系數法，可以求解。

二、“以數解形”，解讀精確數據闡述函數的圖像與性質

數學問題，都是圍繞著“數”與“形”來展開的，每一個幾何圖形都蘊含著一定的數量關系。在二次函數相關的教學過程中，我們要充分利用圖像，將圖形信息轉化為數量關系，能夠有效的培養學生解決問題的思維能力。在解題時，有時把數轉化為形，以形直觀地表達數來解決，往往使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。

例如：如圖是拋物線 的圖像，請盡可能多的說出一些結論。

解析：本題考查的是學生對幾何圖形的解讀，二次函數的圖像與性質教學中，我們引導學生從圖像的特殊點來分析其性質。可以從開口方向、對稱軸、與x軸的交點，最高點或者最低點等相關知識點來分析。從圖像上看，此拋物線開口向下，說明a<0;對稱軸是x=-1;與x軸有兩交點（-3，0）和（1，0）;最高點是（-1，4）。

由此我們還可以得到y的最大值是4，進一步可以根據二次函數的解析式的頂點式和兩根式和一般式，得出此拋物線的解析式為： 。

三、“數”與“形”相互轉化，巧妙直觀的分析問題

在學習二次函數之前學生已經學習過一次函數和反比例函數，已經初步接觸過函數教學中的“數形結合”思想的應用。因此，在二次函數教學中，應該更積極引導學生掌握二次函數的拋物線圖像和性質，有效地滲透“數形結合”思想。利用二次函數解析式及其拋物線圖像特征，“數”與“形”相互轉化換，有機結合，可以大大開拓學生的解題思路，從而為研究和探求數學問題開辟一條重要途徑。

在教材教學中，我們可以引導學生準確把握二次函數中的“數”與“形”的關系，構建知識體系，形成思維導圖，對于以后進一步學習有著重要的作用。

四、“數”與“形”有機結合，抽象思維與形象思維和諧結合

數形結合思想是將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，即有效的將抽象思維和形象思維結合起來。“數”與“形”是既對立又統一的關系。通過形加深對數的理解，通過數加深對形的認識，二次函數教學中所蘊含的數形結合思想，這是幫助學生深入了解數形關系，并運用數形結合思想解決數學問題的契機。

“數形結合”思想在中學數學教學中作為一種廣重要的教學方式，有著廣泛的應用。二次函數教學中，靈活運用“數形結合”思想，還需要學生準確讀圖和繪制圖像。讓學生經歷在二次函數中把已知的數量關系轉化為圖像特征的問題及把圖像特征的問題轉化為數量關系的問題的探究過程，體會數與形的密切關系，從而提高學生分析問題解決問題的能力。教師在數學課堂教學中教會學生運用“數形結合”的思想方法，才能更有效的提高教學質量和教學效率。