一節基于圖形最值問題的變式探究

趙立春

摘要：圖形類最值問題是初中數學中非常重要的教學內容，是中考數學試卷中頻繁出現的題型，這類題能夠考查學生綜合運用數學知識解決實際問題的能力，本文以2016年安徽省中考數學中的一道圖形類最值問題為例，利用了幾何畫板對其進行了一系列的變式探究。

關鍵詞：最值問題;變式教學;探究能力

圖形類最值問題是初中數學中非常重要的教學內容，是中考數學試題命制的高頻點，本文以安徽省2016年一道中考數學圖形類最值問題為例進行變式探究。

筆者所在學校屬于農村初中，學生們的數學基礎不太扎實，解決動態類圖形最值問題的能力不強，大屏幕展示出試題后，發現只有少數學生在認真地思考著……。

看著一群“可憐”的孩子，我進行了引導：“請同學們認真審題，梳理一下題目中的已知條件，思考一下解決此類問題的突破口，分析一下問題中已知條件之間的內在聯系，”巡視中發現，多數學生都找到了題目中的已知條件并記錄在草稿紙上。

于是我提問到：“你能從這兩個與角有關的條件中得出什么結論呢？”

突然有個學生激動起來：“我知道，∠APB=90°，這個角是直角。”

“非常好，你是怎么知道∠APB=90°的呢？”

“我利用了等式的性質和三角形內角和等于180”。

“同學們，還記得直角所對的弦是直徑這條結論嗎？”

學生紛紛表示記得。

隨后，老師在大屏幕上打開了幾何畫板軟件，畫出了符合題意的圖形，如圖2所示。

接下來，我一邊移動著點P的位置，一邊進行引導：本題需要求出CP長度的最小值，也就是求點c與點尸之間的最短距離，點C是定點，點P是△ABC內部的一個動點，這個動點的運動軌跡是什么，這是我們解決此問題的突破口，由已知條件AB上BC，∠PAB=∠PBC可知，∠P是直角，而點P是動點，且在△ABC內部，根據“直角所對的弦是直徑”可知，點P應在以AB為直徑且在△ABC內部的一段弧上，圓弧所在圓的圓心是不變的，即為AB的中點，根據圓的性質，我們知道，點P到該圓圓心距離是不變的，這個距離始終為該圓的半徑，即為AB長度的一半，由此上面的問題就轉化為求最值中的“兩靜一動”類問題，且兩靜止點分別位于動點軌跡的兩側，此種情況求最值的方法是利用“兩點之間，線段最短”原理，因此連接圓心和點c與圓弧的交點即為PC最短時點P所在的位置。

用多媒體呈現問題1的答案。探究能力是一種綜合的學習能力，是一種科學的精神，也是一種意識，在經歷了一個完整的探究歷程以后，需要師生一起回顧自己的探究歷程，積累探究的基本策略與活動經驗，總結探究的基本方法，不斷提升學生的探究能力。