探究三角形四等分線分割面積的問題

黃錦濤 謝濤 葉濟宇

摘要：本文對三角形邊的四等分線進行研究，把分割形成的30個圖形進行分類，得出各類圖形的面積大小并且對圖形的面積進行了證明，

關鍵詞：三角形;四等分線;分割面積

文獻[1]對三角形三等分點有關的面積問題進行了研究，并對分割以后的19塊圖形進行了面積的計算，把面積相同、形狀相同的圖形歸為一類，最后給出了面積的證明，文獻[2]通過引理對文獻[1]的結論給出了幾種不同的證明，筆者由此受到啟發，并對三角形邊的四等分線分割面積問題進行探究。

1問題重述

如圖1所示，點D，E，F，G，H，I，J，K，L為△ABC的邊BC，CA，AB的四等分點，連接AABC的頂點與對應的四等分點，把AABC分成24個三角形、6個四邊形共30個圖形，假設AABC的面積為1.則這30個圖形的面積如圖2所示。

引理2如圖1.條件同上，則每個頂點上中間這條四等分線被其他六條四等分線所截的四條線段的長度（從頂點開始）之比都為42：28：20：15.

證法與引理1類似。

3面積問題的證明

通過對圖2的觀察可以發現，這30個多邊形可以分為以下六類，下面給出這六類面積的證明，為節省篇幅，下面只證各類結論中的第一個面積，其余同理可得，同時從第2類面積起，只列舉出一種證法，其余證法可參照第一類面積的證明。