回歸數學本質聚焦核心素養

劉秀朋

摘要：2019年河北省中考數學試題，突出層次性、鞏固性、拓展性、探索性，立足數學本質，注重考查核心素養，達到了檢測性和選拔性考試的要求，

關鍵詞：理解數學;數學思想;數學活動;數學建模

2019年河北省中考數學試題繼承了近幾年河北中考數學試卷的主體命題思路：重基礎、抓細節、要過程、考能力，試題奇而不怪、新而不偏，緊扣課標，著重體現六大核心素養的要求，題目似曾相識但角度新穎，易人手卻不易得滿分，是一套關注基礎性、綜合性、應用性、創新性的好題。

1命題思路

2019年河北省數學學科的命題，堅持圍繞《義務教育數學課程標準（2011版）》和《河北省2019年初中畢業生升學文化課考試說明》的要求，既突出了數學基礎學科的特點，又積極探索試題的創新;既重視對學生基礎知識與基本技能的考查，又重視對學生基本數學思想和基本活動經驗的考查;既重視對學生基本數學能力的考查，又重視對學生數學核心素養的考查，強調通性、通法，注重學生的應用，考查學生分析、解決綜合問題的能力，整套試卷結構合理，情境新穎，是一套關注基礎性、綜合性、應用性、創新性的好題。

2試題結構

本套試題滿分120分，在保持26個總題量不變的基礎上，進行了新的布局調整，填空題由去年的3小題共計12分調整為共計11分;第26題由去年的11分調整為12分，微調后，填空題增加2分，解答題減少2分，這樣設計，使得試題的梯度更加合理，具有較強的區分度。

2.1難度層次

試題在結構上層次分明，降低了垂直高度，增加了水平寬度，整套試題從易到難形成梯度，既能很好地服務選拔，又能很好地導向教學，每類題型由易到難形成三個難度循環，其中第一、二大題分三個層次：第一層次（第1-12.15.17小題）考查基礎知識、基本技能，判斷、運算、尺規作圖，學生能直接上手;第二層次（第13-15小題）是小范圍的綜合題，旨在考查最基本的數學方法和數學思想;第三層次（第16.18.19小題）更多地關注數學思維過程和應用能力，解答題也分三個小層次：第一層次（20.21.22題）考查代數運算能力和概率相關知識，用所學知識解決簡單問題的能力，對統計與概率知識的理解與應用;第二層次（第23.24題）考查幾何推理能力和學生對函數概念的理解與應用的能力，以及邏輯思維能力與數學思辨能力;第三個層次（第25.26題）考查學生的綜合運用能力，包括知識綜合、方法綜合以及數學思想的綜合運用。

2.2知識結構

從試題結構上看，數與代數、圖形與幾何、統計與概率的分值所占的比約為5：4：1（其中蘊含了適量的綜合與實踐的內容），與它們在教學中所占課時的百分比大致相同，遵循了《義務教育數學課程標準（2011版）》和《河北省2019年初中畢業生升學文化課考試說明》的要求。

3試題特點

3.1注重對雙基的考查，形式新穎

本套試卷中，對于經常考查的內容做到了“常考常新”，在考查基礎的同時，讓人耳目一新，不落俗套，其創新性給教學以極好的指導性、示范性，試題全面考查了學生對基礎知識和基本技能的理解和掌握程度，內容涵蓋廣，如數與式、科學計數法、方程與不等式、函數、仰角、相交線與平行線、四邊形、正多邊形、外心、內心、變換、三視圖、證明、概率與統計等主要內容。

評析第8小題是對科學記數法的考查，形式新穎，與生活緊密相連，該題需要先將分數化成小數，再利用負指數進行表示;第13小題將分式的化簡與不等式相結合，情境新穎，讓人眼前一亮;21題將整式乘法、因式分解、勾股定理一起考查，勾股定理將代數和幾何巧妙地聯系起來，讓人耳目一新。

3.2注重對基本活動經驗的考查，重視問題的探究過程

學生形成能力和智慧，不可能僅僅靠知識，更需要實踐和實踐經驗，不僅包括數學解題更包括數學活動，數學課程應該教給學生必要的數學知識，但決不僅僅以教會數學知識為目標，更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中積累基本的活動經驗，獲得數學思想，本試卷通過選用恰當的數學知識，考查了數形結合思想、分類思想、模型思想、轉化與化歸思想、統計思想、隨機思想，以及待定系數法、由特殊到一般的思想方法等初中主要的數學思想方法。

例4（2019年河北中考第10題）根據圓規作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（）。

例5（2019年河北中考第11題）某同學要統計本校圖書館最受學生歡迎的圖書種類，以下是排亂的統計步驟：

①從扇形圖中分析出最受學生歡迎的種類

②去圖書館收集學生借閱圖書的記錄

③繪制扇形圖來表示各個種類所占的百分比

④整理借閱圖書記錄并繪制頻數分布表

正確統計步驟的順序是（）。

A，②→③→①→④ B，③→④→①→②

c，①→②→④→③ D，②→④→③→①

評析第10小題是對三角形外心的考查，新穎巧妙，順便考查了尺規作圖，在注重試題創新的同時，不僅能夠理解外心的概念，還要掌握外心的性質，同時還要知道外心的畫法;第11小題是對統計思想的考查，需要學生知道數據分析的具體操作過程，要讓學生經歷數學知識的形成過程，學生對問題的探究過程，是教師不能替代的，學生必須親身經歷，才能積累豐富的活動經驗，才能獲得對數學思想方法的感悟。

3.3注重數學活動過程的考查，倡導研究性學習

試題通過設置觀察、操作、探究、應用等方面的問題，給學生提供了一定的思考研究空間，較好地考查了學生在數學思考能力和數學活動過程等方面的數學核心素養，力求通過不同層次、不同角度和不同視點的設問，實現對數學思想方法不同程度的考查，考查學生能否獨立思考、能否從數學的角度去發現和提出問題，并加以探索研究和解決，體現了數學課程標準所倡導的學習方式和教學方式。

分析該小題是以圓和四邊形為背景的幾何壓軸，第（1）問利用三角函數的知識、勾股定理構建方程模型解決問題，考查了學生解決數學問題的能力;第（2）問通過構造“一線三角”基本圖形，利用三角函數、相似、實數大小比較知識構建方程模型求解;第（3）問利用相切的特殊臨界情況即可求解，本題需要學生有勇于探究的精神和勇氣，真正考查學生綜合靈活運用數學知識解決問題的能力。

3.4注重核心素養的考查，突出能力培養主線

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的，雖然義務教育階段還未明確提出核心素養，但《義務教育數學課程標準（2011版）》提出了八個核心概念、兩個意識，與高中數學核心素養相接近，2019年河北省中考試題多角度、多層次對數學抽象（數感、符號意識）、邏輯推理（推理能力）、數學建模（模型思想）、直觀想象（空間觀念、幾何直觀）、數學運算（運算能力）、數據分析（數據分析觀念）等核心素養進行了考查。

3.4.1數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程，主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系;從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構;用數學語言予以表征。

例7（2019年河北中考第18題）如圖6.約定：上方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同指向的數，示例：即4+3=7。

則（1）用含x的式子表示m=__;

（2）當y=-2時，n的值為__;

評析該題從具體到抽象，學生經歷了數學抽象的形成過程，通過辨別具體問題、抽象本質屬性、形成概括、用符號表達，對數學素養進行了較好的考查。

3.4.2邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的思維過程，通過提出問題和論證命題的過程，考查學生能否選擇合適的論證方法和途徑予以證明，并能用準確的、嚴謹的數學語言表述論證過程，以此考查學生的推理素養。

例8（2019年河北中考第7題）下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內容。

評析第7題很基礎，第23題稍有難度，第（1）問比較簡單;第（2）問需要理解題意，實質考查的是垂線段最短;第（3）問主要考查內心的定義，兩道題很好地考查了學生的演繹推理能力。

3.4.3數學建模

數學建模是對現實問題進行數學抽象、用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程，主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解結論、驗證結果并改進模型，最終解決實際問題。

例10（2019年河北中考第24題）長為300m的春游隊伍，以v（m/s）的速度向東行進，如圖9和圖10.當隊伍排尾行進到位置o時，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均為2v（m/s），當甲返回排尾后，他及隊伍均停止行進，設排尾從位置O開始行進的時間為t（s），排頭與O的距離為S（m）。

（1）當v=2時，解答：

①求s與t的函數關系式（不寫t的取值范圍）;

②當甲趕到排頭位置時，求s的值;在甲從排頭返回到排尾過程中，設甲與位置O的距離為Sm（m），求S甲與t的函數關系式（不寫t的取值范圍）

（2）設甲這次往返隊伍的總時間為T（s），求T與v的函數關系式（不寫v的取值范圍），并寫出隊伍在此過程中行進的路程。

評析該題以實際問題為背景，考查一次函數相關知識，給了學生獨立自主的學習空間，引導學生通過思維活動抽象出數學模型，獲得對問題的解決，真正考查了學生應用數學知識解決實際問題的能力，是一道具有區分度的好題。

3.4.4直觀想象

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程，主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

評析第14題需要學生有良好的空間觀念，通過觀察、想象，從立體圖形中抽象出平面圖形，對培養學生的直觀想象能力提出了較高要求。

3.4.5數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程，主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等。

評析兩道小題，不僅僅是對計算結果的考查，更考查了學生的數學思考能力，運算應該是讓學生在理解算理的基礎上，進一步形成解決問題的方法策略，運算能力不是一蹴而就的，應該是從簡單到復雜，從具體到抽象，有層次地進行培養。

3.4.6數據分析

數據分析是指針對研究對象獲取相關數據，運用統計方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的過程，主要包括：收集數據、整理數據、提取信息、構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論。

（1）求這4個球價格的眾數;

（2）若甲組已拿走一個7元球訓練，乙組準備從剩余3個球中隨機拿一個訓練。

①所剩的3個球價格的中位數與原來4個球價格的中位數是否相同？并簡要說明理由;

②乙組先隨機拿出一個球后放回，之后又隨機拿一個，用列表法求乙組兩次都拿到8元球的概率。

評析第22小題與以往考查方式不同，前兩問考查了平均數、中位數、眾數，第三小問考查用列表法求概率，通過創設問題情境將概率與統計相結合，是一道非常好的試題。

4教學改進建議

數學教學重要的是轉變教的方式，以學生為本，關注學生的學習方式，使教學過程變為學生發展的過程，只有這樣，才能適應當前的課程改革，才能應對考試的變化，同時，要回歸基礎，研究學情，抓好落實。

4.1理解數學是數學教學的根本

理解數學首先要理解教材，仔細分析教材編寫意圖，明確每一節教材在知識體系中的地位和作用，理解教材編寫的思路，了解例題、習題的編排功能;了解有關數學知識的發生、發展的過程，與其他知識或其他學科的聯系，從中領悟出教材提供的教與學的過程與方法，明確教材的內在邏輯關系，從而選擇恰當的教學方法，理解數學還要了解數學概念的背景，掌握概念的邏輯意義，理解內容所反映的思想方法，把握教學內容間的聯系，挖掘數學知識所蘊含的科學方法和理性精神。

4.2數學思想是數學教學的靈魂

數學思想是課堂教學的核心和靈魂，它蘊含在數學知識的形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，數學思想重在“悟”，而非“告訴”，教師應通過創設問題情境，激發學生探索問題的欲望，通過觀察、實驗、分析、綜合、歸納、概括等過程，獲得對數學思想方法的認識和感悟，教學設計要以形成學生的數學思想為目標。

新中考不僅僅只停留在靜態知識學習的層面，越來越注重數學思想方法的考查，我們在平時的課堂教學中應在習題的設計上多下功夫，比如，對同一道題嘗試從多角度分析，體會一題多解;可以多設計一些開放條件或開放結論的習題，培養學生的發散思維;同時注重變式訓練，延伸拓展，讓學生體會從特殊到一般、分類討論等數學思想方法，培養學生嚴謹的思維習慣和思維方式，逐步提高學生的思維品質。

4.3數學活動是數學教學的有效支撐

教學中應結合具體數學知識設計適合學生發展的數學活動，數學活動可以是動手實踐、合作交流，讓學生在經歷探究、思考、抽象、猜測、推理、反思等過程中，逐步形成對數學知識的意會和感悟，從而內化為學生自身的活動經驗，達到對數學知識的理解和掌握，同時，我們應該注重學生的空間觀念的培養，不要為了節省時間讓學生失去動手操作的機會，不代替，不包辦，我們要抓住一切機會，讓學生動手實踐，培養學生的空間想象能力，發展學生的空間觀念。

4.4數學建模是數學教學的方式

建構數學模型是發展學生科學思維的重要途徑，面對無法解決的復雜問題，只有忽略次要因素，抽象出關鍵要素，才能找到問題解決的突破口，從原始問題到數學模型的建構，需要的是學生的知識和能力，即學科核心素養的體現，特別是要讓重要的數學概念得到反復理解的機會，而不是以單純的記憶為主從事實出發，通過分析、歸納，提煉方法，抽象出數學的本質，形成數學模型，再應用數學知識解決數學問題，因此，經歷模型建構的過程，才能建立理論與實踐的聯系，達到問題解決的目的，提高學生的應用意識，讓學生理解建立模型的意義。

4.5發展核心素養是數學教學的目標

數學教學應以發展學生的數學素養為追求，這就要求教師要在明確初中數學核心素養基本內涵和培養價值的基礎上，根據學生的認知規律，螺旋上升地安排學習內容，積極采取有效措施進行課堂實施生成，既要學會創設生活情境幫助學生形成數學視角，讓學生樂學善學、勤于反思，又要善于引導學生探索歸納，培養學生的理性思維，讓學生在學習的過程中不斷地進行數學思考，幫助學生養成勇于探究、批判質疑的科學精神，最終學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。

時代呼喚有活力、有創新的教育來培養學生創新學習的能力，作為教師，要密切關注中考趨勢與理念，認真研究中考試卷，明確把握命題導向，針對中考試題和目前的教育改革形式轉變觀念，關注學生的學習方式，培養學生的學習能力，關注立德樹人，關注核心素養的培養，才能使教學過程成為學生的發展過程，才能真正培養出適合新形勢的全面發展的人。