巧用數學模型解決中考數學壓軸題

董清玲?張艷飛?弓鋒輝

摘要：本文以新課標為指導，結合課堂教學實際，在利用點圓、將軍飲馬等數學模型解決中考數學壓軸題的方法進行研究與探索，提出了教師中考復課的策略。

關鍵詞：數學模型;解決;壓軸題

2018年陜西中考數學第25題壓軸題很好地運用了“點到圓上點，共線有最短（長）”這一點圓模型和“先固定，再放開”的數學思維方法，對中考復課有許多啟示。

一、真題展示：

問題提出：（1）如圖①，在△ABC中，∠A=120°，AB= AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為___________。

問題探究：（2）如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點，P是⊙O上一動點，求PM的最大值。

問題解決：（3）如圖③所示，AB、AC、BC是某新區的三條規劃路，其中：AB= 6km，AC=3km，∠BAC=60°，BC所對圓心角為60°.管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路辺建物資分站點E、F.即，分別在BC、線段AB和AC上選取點P、E、F.因職工毎天都要將物資在各站點間按P→E→F→P的路徑運輸，故規劃道路PE、EF和FP.為了快捷和節約成本使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE+ EF+FP的最小值.（道路的距離、路寬忽略不計）。

二、思路分析：

第一小題：

思路1：垂徑定理。作△ABC的外接圓⊙O，OA是∠BAC的平分線，故∠OAC=∠BAC=60°，連接OC，則OC=OA，故等腰△OAC是正三角形。可得半徑OA=OC=AC=5.

思路2：正弦定理。由頂角是120°角的等腰三角形三邊之比是1：1：知BC=AC=5，再利用正弦定理的變形：R=可得R===5.

第二小題：思路：OM+OP≥PM，由“點圓模型”可知當O、P、M三點共線時，PM最小，此時PM⊥AB并過O，PM=PO+OM=5+13=18.

根據三角形的三邊關系：OB+OA≥AB，當且僅當B，O，A三點共線時，OB+OA=AB.即當B，O，A三點共線時，AB取最大值為OB+OA=AB.

第三小題：

求三條線段和的最小值一般解題策略是先做軸對稱變換，再用兩點之間線段最短，或者用兩邊之和大于等于第三邊（共線時取等號）。

原理：作兩次對稱，兩點之間，線段最短.

據此，本題可以假設BC上一點P點即為所求點，固定P點分別作出點P關于AB、AC的對稱點P'、P''連接P' P''，分別交AB、AC于點E、F，連接PP'、PE，PF，PP''，由對稱性可知PE=P' E，FP=FP''，AP'=A P=A P''，∠P'A P''= 2∠BAC =120°，PE +EF+FP=P' E+EF+FP'' ≥P' P''=AP'，即當P'、E、F、P''共線時，P' P''即為最短距離，其長度取決于AP'即A P的長度。

由第（2）問知，作出BC的圓心O，連接AO，與BC交于P，P點即為使得PA最短的點，PE+EF+FP≥AP=3-9，所以PE+EF+FP的最小值為（3-9）km.

點評：本題命題者巧妙將所求三角形一個頂點放在特定圓心角的圓弧上，讓學生有似曾相識之感，難點是：P在圓弧上何處能使三角形周長最短？找到點P位置后如何說明三角形周長最小？

綜上，教師在復習時不能只講一個大概過程，要著力解決壓軸題教學最后一公里的痛點問題，對于真題答案中諸如：“將軍飲馬”問題中，為什么做軸對稱后拉直線段長為最短距離？這一類復雜問題的當堂能進行證明或解釋，打消學生心頭疑慮。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]羅增儒，《數學思想方法的教學》[J]，中學教研（數學），2004.7第28頁。

作者簡介：董清玲（1975.9）女，漢族，陜西省寶雞市，學歷，畢業于寶雞文理學院，一級教師，數學教育，寶雞市清姜路中學。

張艷飛（1975.4）女，漢族，陜西省榆林市，本科，畢業于寶雞文理學院，一級教師，數學教育，寶雞市姜城中學。

弓鋒輝（1974.2）男，漢族，陜西省寶雞市，本科，畢業于寶雞文理學院，高級教師，數學教育，寶雞市渭濱區教研室。