高中數(shù)學數(shù)列求和方法的探究

謝宣霆

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學課程的重要知識點，是學習的重點、難點所在。高考在數(shù)列中的考查方式多樣化，求和方法的綜合掌握，對于解決數(shù)列問題至關(guān)重要。本文通過倒序相加求和、錯位相減求和、裂項相消等方法，闡述了高中數(shù)學數(shù)列求和的常用方法，以提高數(shù)列求和的運算效率。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 數(shù)列 倒序相加 錯位相減 求和

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）01-0098-02

數(shù)列是高中數(shù)學課程中的重要內(nèi)容，是高考考查的“黃金”知識點。數(shù)列求和是數(shù)列知識考查的重要方式，強調(diào)對數(shù)列基礎(chǔ)知識的扎實掌握、有效應(yīng)用，進而在靈活變動中尋求“求和”的新路徑。高中數(shù)列求和，有“技”可循，有“式”可用，通過錯位相加、倒序相加的技巧，構(gòu)建求和新公式，讓沒規(guī)律可循的數(shù)列求和能夠巧妙解決。因此，在歸納總結(jié)中，羅列高考數(shù)列求和的常用方法，提高數(shù)學學習效率，消除一遇數(shù)列求和就頭痛的尷尬。筆者結(jié)合對教材的學習，就高中常用的數(shù)列求和方法進行探討，提高高中數(shù)列求和的有效性。

一、調(diào)轉(zhuǎn)方向，倒序相加求和

在數(shù)列求和中，經(jīng)常出現(xiàn)這類數(shù)列：與數(shù)列首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和。但對這類數(shù)列進行求和之時，則可以調(diào)轉(zhuǎn)思考方向，抓住數(shù)列特點，通過倒序相加的方法，求出數(shù)列{an}前n項的和。所謂倒序相加，就是把正寫與倒寫的式相加，進而得出常數(shù)（a）。在對等差數(shù)列前n項和的求算中，教材所用的方法就是倒序相加法。因此，在數(shù)列求和練習中，要善于靈活應(yīng)用，對復雜通項的某兩項以作“和”的方式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋得求和路徑。

分析：乍一看，整個題目簡單，但感覺非常復雜，有種無從下手的感覺。但是，若對倒序相加法比較熟悉，就可以在進行求算之時，可以通過計算“f（x）+f（x-1）”，看其是否會等于某一常數(shù)。經(jīng)驗算，f（x）+f（x-1）=1。對此，在求和之時，可以運用倒序相加的方法，很快求算出數(shù)值。

此題知識結(jié)合面執(zhí)教廣泛，將函數(shù)與數(shù)列進行結(jié)合，這是高考最為常見的綜合考查的發(fā)生。若未發(fā)現(xiàn)“f（x）+f（x-1）=1”，采用倒序相加的方法，是很難以求算所得。因此，在數(shù)列求和的過程中，要善于利用教材方法，并進行靈活變通?？赡軘?shù)列通項與教材“等差數(shù)列求和”存在差異，但具有這類特點的數(shù)列在倒序相加的過程中是一致的，還是強調(diào)對倒序相加求和的理解并發(fā)散思維。

二、錯位整理，錯位（加）減求和

錯位相減對于高中生而言，是應(yīng)用較為廣泛的求和方法，并且有種“屢試不爽”的效果。錯位相減有其方法的巧妙性和優(yōu)越性，但也存在一定的局限性。教材“等比數(shù)列求和”所用的方法就是“錯位相減法”，要求在理解的基礎(chǔ)之上，靈活掌握，提高求和計算效率和正確性。在數(shù)列求和之時，但數(shù)列{an}的通項，an=（an+b）·cn之時，我們一般就可以采用錯位相減的方法求和。

例2：已知數(shù)列{an}，an=（2n-1）·3n，求數(shù)列{an}的前n項之和。

分析：該數(shù)列的通項“（2n-1）·3n”就是典型的“（an+b）·cn”形式，我們在進行求和計算之時就應(yīng)優(yōu)先考慮運用錯位相減法。當然，在實際的計算當中，數(shù)列通項式可能不會這么直接或簡單的給出，但在解答方法上是一樣的。

該題運用錯位相加法，巧妙地實現(xiàn)了數(shù)列求和。但是，在求算當中，運算量相對較大，且需要特別注意“位”，調(diào)整之后的錯位相減，要對好“位”，這是避免運算失誤，進而提高運算準確性的關(guān)鍵。與此同時，要善于觀察，觀察數(shù)列通項的特點，結(jié)合已學知識，對數(shù)列進行錯位調(diào)整。

三、分裂通項，裂項相消求和

復雜的數(shù)列通項，往往在處理之后并不復雜。分裂通項就是處理數(shù)列通項，獲得求和簡便之道的有效措施。所謂分項相消求和，就是將數(shù)列每一項拆分為“兩項之差”，并能夠在相鄰兩項之間進行部分消除。因此，裂項相消法的技巧性更強，要求對通項有準確的判斷，并通過適當?shù)摹凹夹g(shù)”處理。在很多情況之下，裂項不確定，很難進行下去。此時可以采用“待定系數(shù)法”，對裂項進行確定。

總而言之，數(shù)列求和是高中數(shù)列的知識重點，考查方式多樣，且具有知識面廣、結(jié)合范圍大等特點。在對數(shù)列求和的過程中，一是要“巧”，巧用求和方法，變繁為簡、變難為易；二是要構(gòu)建新數(shù)列，通過錯位、裂項等方式對數(shù)列通項進行處理，為求和創(chuàng)造新的切入點；三是要善于發(fā)散思維，在已學知識點的基礎(chǔ)之上，靈活應(yīng)用、善于變化，以舊方法解新問題。

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