運用方格圖提高小學圖形面積教學效果的實踐與思考

賴玉翠 黃勇明

【摘要】方格圖是小學數學教材較為廣泛應用的數學工具之一。方格圖為學生提供了解決問題的“腳手架”，幫助學生更好地學習數學知識，獲得數學學習的方法。本文根據“平行四邊形的面積”的教學實踐，淺議方格圖對圖形與幾何板塊的“圖形測量”教學的積極作用。

【關鍵詞】方格圖;面積測量;教學效果

方格圖是以若干小正方形為基本構成要素，以信息加工過程的直觀性為形態的數學學習工具。它具有從“抽象到形象”“模糊到清晰”“粗略到精確”的作用，有助于經歷“現象—本質”的知識探究過程，積累豐富的數學活動經驗。如何利用方格圖的直觀性幫助學生理解和感受面積單位的個數和面積之間的聯系，以及圖形轉化前后的數量關系，從而提高圖形面積的教學效果呢？下面以“平行四邊形的面積”教學為例，談談方格圖的運用給我帶來的幾點教學體會：

一、方格圖運用的緣起

1.“平行四邊形的面積”教材分析及教學線索

“平行四邊形的面積”是以長方形面積計算為基礎，以圖形內在聯系為線索，以未知轉化為已知的基本方法開展學習，滲透“轉化思想”。在以往的“平行四邊形的面積”教學中，都是先讓學生通過方格圖數出長方形和平行四邊形的單位面積個數，并從所填寫的表格數據中發現兩個圖形之間存在的數量關系，從而引導學生猜測、想象平行四邊形面積計算公式后，用剪拼法把平行四邊形轉化長方形，最后讓學生從操作結果中發現等量關系來驗證公式的。依據以上的教材分析，我們對“平行四邊形的面積”一課執行了以下的教學線索：

（1）創設“比較長方形花壇和平行四邊形花壇面積大小”的情境;

（2）利用數方格的方法求面積;

（3）動手剪拼，將平行四邊形轉化成長方形，再求面積;

（4）觀察比較平行四邊形與轉化后的長方形，發現等量關系，概括面積公式;

（5）綜合運用平行四邊形的面積公式解決問題。

2.源自教學的困惑

小學生認知水平還是以形象思維占主導，而抽象思維就比較薄弱。“平行四邊形的面積”在圖形轉化的過程中，需要學生根據轉化前后圖形觀察發現“底=長”“高=寬”的等量關系，但圖形“邊線”的抽象性導致了學生對于這一等量關系的發現存在困難，需要教師根據剪拼出來的圖形一步步帶著學生發現等量關系，最終，對于平行四邊形面積的計算公式都要老師引領學生總結、歸納出來，而不是通過自主發現的學習方式獲得知識，使課堂教學的開放性出現局限。這樣的教學，老師講得辛苦，且學生沒有真正理解平行四邊形轉化成長方形之后存在的等量關系，真可謂“費煞苦心”。

3.基于問題解決的設想

“轉化”數學思想的應用在“圖形測量”是從五年級上冊“平行四邊形的面積”開始，對空間想象能力不強的學生來說具有一定的學習困難，而困難的本質就是因為“抽象”。要解決這個學習難點，能否為學生在推導平行四邊形面積的全過程中，為學生提供一個“腳手架”，而這個“腳手架”的作用就是把抽象的知識變成直觀，在直觀的圖形中去發現抽象的數量關系，從而為平行四邊形公式的推導奠定基礎。

二、數學工具的選擇

解決抽象過渡到直觀的思維過程，讓學生通過觀察直觀物體來獲取對平面圖形的直接經驗，方格圖這一數學工具就有這種功能和價值所在。平行四邊形的面積主要是通過對圖形的剪拼、平移得到另一個等積變形的圖形，從而滲透轉化的數學思想。然而，在圖形轉化之后，基于學生對圖形抽象的特征及其關系感知不深，難以抽象等量關系。利用方格圖橫豎線之間的垂直關系，能夠凸顯平行四邊形和長方形的圖形特征，在學生轉化之后根據顯性出來的圖形特征，更容易發現圖形之間的聯系。另外，方格圖能夠為圖形提供研究的數據，每個方格長度都能“以一當一”，直觀的數據比起圖形邊線重合更具有可信度，從而提高圖形轉化實驗的可信度。

三、方格圖在圖形測量的運用策略

（一）用好方格圖的垂直作用，凸顯圖形的特征

小學生以形象思維為主，主要是通過觀察來獲得對平面圖形的直觀經驗。在長方形、正方形面積公式推導中，方格圖的主要功能定位在實現從“測量面積”到“計算面積”的過渡。而在平行四邊形面積公式的推導中，方格圖除了可以實現和長方形、正方形一樣的功能定位，還可以把兩種圖形內在的數量關系質感呈現。

例如，在方格圖中出示一個底是6厘米，高是4厘米的平行四邊形和長是6厘米、寬是4厘米的長方形，讓學生猜一猜平行四邊形和長方形的面積誰大？引導學生觀察平行四邊形與長方形有什么不同的地方？學生在觀察中發現長方形的四條邊互相垂直，全都是滿格的，可以用數方格的方法直接計量長方形的面積，還發現長與寬的乘積就是長方形所占面積單位的個數，從而推導出長方形面積的計算公式。但是平行四邊形的四條邊不是互相垂直的，造成有滿格的和不滿格的現象，要度量平行四邊形的面積，學生就要根據平行四邊形的特征想方法把不滿格轉化成滿格的來數，為平行四邊形轉化成長方形打下鋪墊。

（二）用好方格圖的度量作用，積累圖形面積的測量法

學生通過用不同的數方格的方法來計算平行四邊形的面積，發現平行四邊形和長方形的面積一樣大，平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等。因為長方形的面積=長寬，那么平行四邊形的面積是不是也有計算公式，從而猜想平行四邊形的面積=底高。

方法一：先數整格，再通過兩個不滿格拼湊滿格的方法。

方法二：也是用數方格的方法，把左邊陰影的直角三角形格子補到右邊，變成了長方形，它們的面積是以一樣的，再數出長方形整格的數量就是原來平行四邊形的面積。

方法三：把平行四邊形沿著它的高剪下，分成了一個直角三角形和直角梯形，把直角三角形平移到直角梯形的右邊，拼成了長方形，長方形的面積等于平行四邊形的面積。

方法一和方法二是數格法的靈活運用，方法三是剪拼法。學生比較后發現剪拼法更簡便，把面積未知的平行四邊形變成學過的長方形來求，學生經歷了獨立思考、自主操作、合作交流的全過程，積累了單位面積測量法的活動經驗，為操作驗證環節奠定基礎。也讓學生體會到方格圖的主要功能是實現從“數格法”到“剪拼法”的轉化。

（三）用好方格圖的直觀作用，滲透數學思想方法

方格圖可突顯圖形的特征，使各種圖形之間的聯系更加突出，為平面圖形的轉化提供了直觀參照。同時，方格圖還為學生直觀地提供各種研究數據。根據小學生的年齡特點，平面圖形面積公式推導以實驗法和不完全歸納法為主，因此教師應充分提供研究數據，盡可能提高推理的可信度，從而增強學生思維的嚴密性。在平行四邊形面積公式的驗證中，老師要求學生小組合作，用大小不同，形狀不同的平行四邊形來驗證：是不是所有的平行四邊形都可以轉化成長方形，它們之間都存在著以下三種等量關系？

長方形的面積=長×寬

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平行四邊形的面積=底×高

驗證一：我們小組的平行四邊形底是10cm，高8cm，沿著圖形中間的一條高剪一個直角梯形平移到另一邊拼成一個長方形，長方形的長是10cm，寬是8cm，平行四邊形和長方形面積相等，底和長相等，寬和高相等。

驗證二：我們小組的平行四邊形底是11cm，高5cm，沿著平行四邊形高剪一個直角三角形平移到另一邊拼成一個長方形，它們和底是6cm，高時4cm的平行四邊形轉化后的數量關系是一樣的。

……

通過驗證，學生發現任意一個平行四邊形都能剪拼成一個長方形，所以“平行四邊形面積=底×高”的猜想是正確的。

從方格圖中抽象出轉化前后圖形之間的數量關系，只是一個特殊的情況，要讓學生感悟平行四邊形面積公式的一般性，需要通過不完全歸納的推理過程。所以教師設計了讓學生運用方格圖的具體數據直觀性驗證“轉化前后”兩個圖形的數量關系。讓學生經歷特殊到一般的學習過程，學生不僅知其然，也知其所以然，從把抽象數量關系變為直觀數量關系，理解了轉化前后圖形之間的等量關系，進一步凸顯滲透“轉化”“等積變形”“一一對應”的數學思想和方法。提高學生測量圖形面積的思維空間，提高課堂的教學效果。

從以上的教學實踐案例可知，學生在平面圖形面積公式推導過程中，運用方格圖讓學生經歷了從抽象——直觀——抽象的公式推理和驗證的全程。在這節課中方格圖的運用，不僅激活學生使用數學工具的興趣，還積累單位面積的測量方法，進一步學會把未知圖形轉化成已知圖形滲透“轉化”“等積變形”“一一對應”的數學思想和方法，提升學生測量圖形面積的思維空間，從而推導出未知圖形的面積計算公式，達到提高圖形面積的教學效果。

（本文系廣州市增城區教育科學“十三五”規劃2019年度課題（課題編號：zc2019072）成果）