以全等三角形的知識為出發點，引導學生探索幾何入門之路

劉美娣

【內容摘要】初中數學中，根據題目條件和圖形，運用熟悉的三角形全等判定定理，靈活利用不同方法尋找相應三角形全等的條件，從而根據條件運用對應邊相等、對應角相等的原理可以應用它們綜合解決相關問題。因此，數學教師要加強對全等三角形判定的重視，從而更好地促進學生幾何水平的提高。

【關鍵詞】學情 條件 圖形 定理 證明 應用

全等三角形的證明對于那些剛接觸幾何證明知識且基礎比較差的初中生來說，確實是一件非常困難的事情。因此，數學教師應該根據不同學生不同的數學水平，制定科學合理的教學計劃，由淺入深牽引學生積極探索幾何的入門之路。

一、了解學情——引導學生明白幾何證明知識的障礙有哪些

1.學生對概念、定理不熟練或者就算能滾瓜爛熟背得出來但不會靈活去利用。

2.學生對已知條件不會展開聯想，不會利用己知條件索求結論，不夠耐心嘗試探尋結論。

3.證明過程表達格式由原來的數字語言轉變成幾何語言。對于書寫證明過程更是無從下手，老師分析引導時還說得出來，但獨立書寫時就無能為力了，動筆書寫過程時就懵了，無處下筆，不知哪步先寫、哪步后寫、怎么寫。

二、化腐朽為神奇——引導學生掌握幾何證明的基本招數

1.不遺余力讓學生熟知概念、定理、公理

要充分掌握幾何證明的本領，學生需要對幾何概念及定理、公理爛熟于心。學習過程中，概念、定理、公理應該熟練掌握。老師可以通過課前布置任務、學習小組互相競賽、課堂檢測等方法檢查學生的掌握情況;還可以配合圖形對概念、定理、公理用淺顯的文字進行解讀。例如，什么叫內錯角？內，就是夾在兩直線里面的角;錯，就是兩個角錯開來的（即不是同側的角）。對于基礎比較差的學生來說，這樣去理解內錯角的定義、判斷是否內錯角就容易多了。又例如，什么叫同旁內角？有了前面內錯角的理解，理解同旁內角就容易多了。同旁，就是同側（即同左或同右的角）;內角，就是夾在兩條直線里面的角;再通過圖形畫一畫角，學生就掌握了，比記那些抽象的概念效果更好。另外，在三角形全等條件的判定過程中，需要充分利用圖形的輔助功能，否則學生運用這個定理去證明時容易混淆，到底哪個是夾角最易錯。當學生熟練理解了概念、定理、公理等工具后，我們老師才能夠順利開展幾何證明的教學工作。

2.耐心細致引導學生理解題目中的已知條件和求證部分

學生反復讀完一道題后，要明確題目中給出了哪些條件？這些條件可以引出什么樣的結論？引出的結論中哪些是對本題有用的？哪些是沒用的？如下題：

如圖1所示，點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD.求證：AC=DF.

（1） 根據條件分析可以得出如下結論：

根據“兩直線平行，內錯角相等”的判定定理，可以作出以下推斷：

由FB=CE可推出BC=EF（FB+FC=CE+FC）;

由AB∥ED可推出∠B=∠E;

由AC∥FD可推出∠ACB=∠EFD，

再根據三角形兩角和一邊對應相等的全等判定條件，得出兩個三角形全等。

（2） 結論與條件之間的關系的思路：要證明兩條邊相等，那么結合圖形我們可以看出，只要證出△ABC和△DEF這兩個三角形全等即可;在全等三角形判定過程中，可以使用的判定定理有AAS、ASA、SAS、SSS、HL，通過充分分析題中所給的條件，看還缺少什么條件需要證明。這樣思考下去，我們就找到了解題的思路，然后把過程寫出來就可以了。

3.反反復復引導學生掌握規范書寫解題的步驟

幾何題的證明過程，其實就是把大腦中的思路再現到紙上的過程。讓學生熟練書寫證明過程的解題步驟，相當于建樓房做好框架結構，只要熟練了步驟，學生才不會覺得無從下筆。步驟如下：

（1）準備條件：弄清楚三角形全等的條件，并把這些條件一一列舉出來，用畫圖的方式表示出來。

（2）證明兩個三角形全等的書寫四步驟：

① 間接條件的要先證明出來

② 寫明要證明哪兩個三角形全等;

③ 最后用大括號羅列出三角形全等的條件;

④ 寫出全等的結論。

如下題：

如圖2所示，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E，求證：BC=DC.

證明：

∵∠BCE=∠DCA

∴∠BCE+∠ECA=∠DCA+∠ECA

即∠BCA=∠DCE

在△ABC和△DCE中

∠A=∠E ? ? （已知）

∠BCA=∠DCE ?（已證）

EC=AC ? ? ?（已知）∴△ABC≌△EDC （AAS）

∴ BC=DC

三、知識延伸——引導學生對求證部分進行拆分，使問題簡單化

對求證部分進行拆分，使問題簡單化即將原題的一個問題拆成幾個問題來讓學生完成，這樣學生在完成解題就容易多了。

如圖3：已知點E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C。 求證：AB=DC.

這道題可將“求證：AB=DC”這個問題拆成其它兩個問題來分步解決：

①求證 △ABF≌△DCE;②求證AB=CD

通過引導的方式，使學生能夠知道全等三角形在幾何證明題中的重要作用，從而用更好的方式對全等三角形的運用融會貫通。

又如圖4：已知AD、BC相交于點O，OA=OD，OB=OC。

求證： AB//DC

這道題可就將“求證： AB//DC” 這個問題拆成其它三個問題來分步解決：

①求證△ABO≌△DCO ②求證∠B=∠C或∠A=∠D ③AB//DC

證明兩條直線平行的方法有很多，從圖中觀察發現，只出現了內錯角∠B與∠C及∠A與∠D，所以要證明AB//DC，只要證明出∠B=∠C或∠A=∠D，因此學生們可以知道，證明兩角相等的方法也可以用證明全等三角形的方式。

這樣一來，再加上平時練習多訓練，學生在書寫證明題時難度降低了，準確率也提高了。

以證明兩個三角形全等為基礎和出發點，再牽引出相關的數學知識，用來解決數學問題。這種教學方法的優點是促進學生迅速提高讀題審題的能力，能夠使學生從更多的角度去思考數學問題，從而使學生掌握幾何證明題的解題技巧，使學生的解題能力進一步提高。

【參考文獻】

[1]沈小軍.例析幾何證明中邏輯推理典型錯誤——以“全等三角形”為例[J].初中數學教與學，2019， 401（5）：11-12.

[2]曾澤群，林江文.伸頭伸腳“話”變式，添頭添腳“悟”證法——以“全等三角形判定定理的應用”的教學為例[J].中學數學（初中版）下半月，2016（4）：36-37.

（作者單位：廣東省韶關市翁源縣鐵龍學校）