“數學廣角”的深度教學意蘊

劉麗佳

（福建師范大學 教育學院,福建 福州 350100）

數學廣角是小學數學教材中的一個特色板塊，是人教版教材為落實新課程標準理念而進行的新嘗試。數學廣角單元的選材包括部分數學經典名題和大量數學中的基本問題、手段和原理，力求通過貼近生活的實例，引導學生在探究、發現、證明數學方法的過程中掌握內隱于數學問題中的思維規律和數學思想，積累學生的數學活動經驗，發展學生的數學思維，為解決更復雜的數學問題奠下思想基礎[1]。數學廣角的相對獨立性和偏重數學思考的特點賦予了數學廣角豐富的課程價值和育人價值，但這些深層價值尚未被完全發掘，在實際教學中常常被忽視，亟待教師與學生通過多種方式去深入探索與學習。

一、“數學廣角”的深層價值探析

數學廣角的目的在于落實新的數學教育追求，把數學廣角簡單地理解為數學解題策略的拓展是對數學廣角課程價值的忽視，把握數學思想與文化已逐漸成為數學廣角的重要教學內涵。

（一）數學廣角是培養數學思想的載體

數學廣角中貼近生活、貼近實際的案例，將抽象的數學思想方法呈現出來，讓學生經歷“觀察、操作、猜想”等數學活動，感受和體會運用數學思想方法和策略解決問題的有效性，培養學生運用數學思想方法解決問題的意識和能力，有步驟地向學生滲透數學思想。通過認真分析和對比可以發現，數學廣角每一主題內容都包含一種或多種數學思想。如“搭配問題”中的抽象思想和推理思想，“植樹問題”中的抽象思想、推理思想和模型思想。這些數學基本思想是揭示數學本質，奠定數學學科基石的源泉。

（二）數學廣角是培育核心素養的溫床

數學核心素養是指數學學科的思維品質和關鍵能力。數學這門學科的價值就是教會學生如何思維，如何思考問題。史寧中教授曾說過，素養的形成不能依賴單純的課堂教學，而是依賴學生積極地參與數學活動，依賴學生的自我感悟與思考，素養是日積月累的自我思考和經驗的成果[2]?！昂诵乃仞B”不是由教師直接教出來的，而是在問題情境中借助問題解決的實踐培育起來的[3]。數學廣角貼近實際、貼近生活，以問題貫穿整個學習過程，解決問題是數學廣角的核心，數學廣角是培育數學核心素養的溫床。

（三）數學廣角是傳承數學文化的工具

數學本身就是一種文化，小學數學教材中的內容、思想、方法和語言都是現代文明的重要組成部分。數學學科中的演繹論證思維模式，在整個人類文化中具有獨特地位和特殊的文化價值。數學廣角引用了大量的數學經典問題，這些經典例題不僅比常規數學知識有更豐富的背景知識，而且其中縝密的論證，奇特的構思和推理一起構成了數學廣角的文化特質[4]。同時，數學文化也能夠培養人的精密思維能力與嚴謹的邏輯推理能力，為解決數學問題提供文化助力，數學廣角與數學文化在教師與學生教與學的過程中，互相生長，互相作用。

（四）數學廣角是積累活動經驗的場所

數學廣角的教學重點并不是機械地公式堆積和解題策略的應用上，而是在抽象的模型建立過程中積累數學活動經驗。數學廣角每一個主題內容都蘊含豐富的數學活動，如“搭配問題”包含操作、觀察、猜想等數學活動，“推理問題”包含操作、觀察、猜想等數學活動，“集合問題”包含觀察、操作、猜想、推理等數學活動。學生在自主參與這些數學活動的過程中積累相應的數學活動經驗，從而發展合情推理能力，感悟演繹推理思想，學會獨立思考。

由此可見，數學廣角蘊含著許多尚未被挖掘的課程價值與育人價值，這使得數學廣角的學習方式和教學方式都必須深度化。

二、“數學廣角”的深度學習意蘊

數學廣角相對于常規的數學知識更具有挑戰性、新穎性。若想把握其本質，學生就必須要深度投入到課堂中，通過多種形式參與到知識建構中。

（一）深度理解，促進認知生成

“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這是數學廣角中經典的數學問題，學生往往需要時間參與到關鍵信息提取，模型建立的過程中，才能真正理解問題的意圖與指向[5]。當然，數學理解不僅僅是數學知識的概念、意義、價值的領悟，更是指數學的邏輯結構與學生的知識結構相融合的過程。數學廣角的內容安排呈現出螺旋上升、逐級遞進的趨勢，從簡單的分類思想到較為抽象的運籌思想、對策論之間都有著千絲萬縷的聯系，學生有效的理解才能順利開展深度學習。學生要嘗試從多個角度、多個層面理解知識的不同層面、不同意義，促進自我的數學發現與創造。

（二）深度參與，促進認知建構

學生要深度參與到問題的探究過程中，這里不僅僅是要求學生的行動積極參與，更要求學生的經驗、情感、思維、想像都深度卷入到課堂教學中[6]。學生不僅要通過觀察、理解情境圖中要解決的問題，經歷知識的形成過程，通過獨立思考、操作，小組討論交流等活動將靜態的知識激活，將符號化的知識打開，還要通過對知識的整合與重構、思維的活躍與聯動以及知識的遷移與運用，積極參與到課堂中，才能感受到數學學習的樂趣和價值，才能體驗到數學知識的豐富內涵和意義。

（三）深度拓展，促進知識運用

只有當知識和技能在復雜的情境中，通過解決實際問題時所形成的知識和能力，才是真正屬于學生的。數學廣角的解題過程中學生往往不能一眼就看出問題情境中的解題原理，要找到問題中的具體情境和“一般化模型”之間的內在聯系并非易事。這不僅要求學生能正確理解所學知識的內涵和外延，還需要具備熟練的知識遷移能力和豐富的生活背景。因此，教師的教與學生的學都不能局限于課堂問題的解決，學生不僅要以數學知識為起點，以生活為背景，積極主動地將問題解決的思路拓展到生活情境中，而且要學會以數學的眼光看待生活，不斷拓展自己的視野，嘗試提煉出生活中的數學問題。

（四）深度反思，促進思維發展

小學階段是學生思維發展的關鍵時期，反思性學習則是培養學生數學思維的良好途徑。學生學習并不是一個被動接受的過程，而是主動建構并不斷完善自身知識結構的過程。這就要求學生不斷地反思自己的學習過程與策略，并基于反思結果調整自己的學習行為、思維等，促使自我的數學學習走向深度[6]。學生深度反思是對數學認知的再認知，是認知的拓展、延伸?！皵祵W廣角”因具有較強的思維性，解題策略具有較強的邏輯性，在學習后反思自己的思維過程和解題策略更有利于學生數學思維的深度發展。因此，要有意識地培養自我反思的習慣，增強自我反思能力，讓自我反思逐步趨向深度。

三、“數學廣角”的深度教學策略

深度學習的發生依賴教師的深度教學，要把數學廣角的價值真正落實到課堂教學中，落實到學生的學習方式和教師的教學方式的深刻變革中，就必須從“深度學習”走向“深度教學”，這樣才能把數學廣角中抽象的數學思想、核心素養變成一個看得見、摸得著的行動。

（一）加強聯結，深化學生的經驗

深度學習不僅要把握數學知識的內在本質，更要洞察數學知識之間的聯系。教學中，教師要搭橋引線，引導學生主動聯結，集成數學知識塊、知識網，建構知識結構、知識體系[2]。在課堂教學活動中，教師要加強學生知識結構之間的聯結，以學生已有的知識經驗作為基點，和新知建立起有意義的深度聯結，使學生的經驗能夠更豐富，更科學。

學生的知識結構是在數學學習的過程中建構起來的，看似獨立的知識、思維和觀念之間都存在著聯結。教師在設計課堂教學時可以通過創設相似的教學情境、以數學本源性問題為起點、關注數學概念之間的同化等教學方式，從知識之間發現數學的本質和核心意義，從而促成教學內容和學生經驗的相互轉化，關聯學生經驗、運用學生經驗，促進學生的聯結思維向縱深發展。

（二）自主探究，深化學生體驗

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。數學思想感悟離不開教師的指引和講解，但教師不能只是單純地教授課本上的教學內容，而是要有針對性地對內容進行拓展和引申，在充分的課堂時間和自由度的保證下，鼓勵學生在學習過程中深入探究，積累數學活動經驗，在活動中提升思維水平，對數學思想方法進行抽象和概括。

數學活動不再停留在表面，而是挖掘出其本位價值，就要促使學生對生活中類似問題進行拓展和遷移。比如在“植樹問題”一課中，教師可以廣泛地拓展植樹問題的變式以總結“化歸思想”的本質，如裝路燈問題、上樓梯問題、鋸木頭問題、排隊問題等。學生在這樣的類似問題的解決中應用和感悟植樹問題的思想方法，將數學課堂上學生的數學活動進一步深化到數學思想的感悟中。

（三）潤澤氛圍，深化學生的情感

“數學廣角”的內容與實際生活緊密相連，往往蘊含著豐富的價值和意趣。實際課堂中不能只限于數學知識的學習而忽略了學生情感的引導，學生不僅需要知識的養分，也需要情感的潤澤。教師在教學中要充分利用自身的情感因素和教材內含的情感成分，通過營造和諧相融的氛圍，促使學生在學習過程中得到思想情感的升華，將情感因素和智力因素統一起來，使學生感受到數學情感的潤澤[7]。

數學廣角知識的產生、發展、運用總是蘊含在一定的情境中，教師在實際教學中通過設計情境還原和模擬知識的產生過程，從而激發學生的學習興趣和內在的思維活動，引起學生的情感共鳴[8]。例如在“排列組合”這一課中引導學生分小組站隊；在“找次品”中讓學生找一找生活中物品的次品，在“打電話”中情境扮演如何最快地通知……在這樣學生興趣盎然，思維活躍的課堂上，教學有意識地創設情境和組織學生進行情感交流，能更深入地感受到數學的神奇和魅力。

（四）實踐應用，深化學生的能力

數學深度學習過程是學生“生命實踐”智慧生長的過程。數學來源于生活，也應用于生活，數學廣角是培養學生應用意識很好的載體[9]。在教學過程中，教師不僅要將數學廣角中抽象出來的符號化的數學知識具體化、實踐化，利用數學中的概念、原理去幫助學生解釋、解決現實世界中的現象和問題，還要引導學生將現實生活中大量的數量與圖形的問題抽象為數學問題，用數學的方法與思維去解決。

在數學廣角的教學內容領域，蘊含了大量值得深度挖掘用以提升學生能力的數學信息。比如在“編碼”這一課中學習身份證編碼的意義，領悟了編碼的數學思想，通過反思這些編碼的特點，可以體會編碼在生活中的實際運用價值。教師通過引導學生參與“給自己編個性學號”“用身份證號碼破案的奧秘”“賓館房間編碼的秘密”等活動的反復實踐，讓學生感受數字編碼的思想方法和生活中的實踐運用價值，并在以后遇到類似問題時能主動運用數學思想，提高解決數學問題的能力。

綜上所述，數學廣角不僅僅是普遍認知上的數學思想方法的載體，而且也蘊含著培育學生的核心素養和傳承數學文化、積累活動經驗的重要價值。作為學生，要在深度理解問題指向的基礎上，對問題解決的過程深度參與并主動拓展和應用，同時反思自己的學習過程，從而實現思維的提升。當然，要達到這個目標離不開教師的引領。課堂上教師對知識的合理銜接，活動的有效引領，課堂氛圍的有效調控，都能使課堂教學的每一個活動都落到實處。只有教師的教與學生的學都趨向深度，才能挖掘出數學廣角豐富的課程價值和育人價值。