“APOS”模式下的 “一元二次方程”教學探索

李雪瓊

[摘? 要] “APOS”理論認為，學生針對概念的學習實際上是以概念為對象，促進自身完成對概念自我心理建構的過程. 基于此，文章以“一元二次方程”的教學為例，以理論四階段在概念教學中的應用展開全方位探索，并針對教學成效以及注意事項展開深入反思，希望能為其他一線教師提供教學借鑒.

[關鍵詞] “APOS”模式;概念教學;一元二次方程

杜賓斯提出的“APOS”概念教學模式主要包括4個階段：活動、過程、對象以及圖示. 這一概念教學模式的核心是為學生營造良好的學習情境，使學生能夠置于情境中自主完成對概念的建構，從而更精準地把握概念的本質. 在初中數學概念教學中，教師要對學生的思維進行引導，使他們親歷概念的探究過程. 將“APOS”模式應用于初中數學概念教學中，能夠達到事半功倍之效.

■ “APOS”模式下的“一元二次

方程”教學案例

1. 活動階段：借助問題情境，引導列出方程

（1）呈現問題情境

情境1：一塊長方形鐵皮，已知面積是5000平方厘米，長為100厘米，那它的寬是多少厘米？

情境2：分別在上述鐵皮的四個角上切割相同大小的4個小正方形，由此做成一個無蓋的長方體鐵皮盒，得到底面積為3600平方厘米的鐵皮盒. 求剪下的小正方形的邊長是多少厘米.

情境3：一座人體雕像高2米，上、下部分的高度之比與下部和全部的高度之比相同，則下部是多少米？

（2）引導列出方程

讓學生根據情境列出方程：對于情境1，假設所求的寬為x厘米，則所列方程為100x=5000;對于情境2，假設小正方形的邊長為x厘米，則所列方程為（100-2x）（50-2x）=3600;對于情境3，設下部是x米，則所列方程為4-2x=x2.

（3）組織小組討論

讓學生在小組內對列方程的等量關系進行討論.

設計意圖？搖 “APOS”模式的第一階段為活動階段. 在這一階段，根據教學內容設置問題情境引出活動學習內容是關鍵. 以上教學片段，通過三個問題情境引出三個方程，緊扣學生的原有認知基礎，且能夠有效地激活學生原有的學習經驗，從而為接下來的自主探究學習奠定基礎.

2. 過程階段：組織學生討論，引導對比分析

（1）呈現討論問題

上述三個方程有什么相同點和不同點？哪些方程是你們沒有學過的？

（2）組織討論分析

讓學生在小組內分別對3個方程進行討論分析，學生得出以下結論：①這3個方程的相同點是都只有一個未知數. ②第一個方程的未知數的次數是1，第二個方程和第三個方程的未知數的最高次數都是2.

（教師板書：一元一次方程？搖 一元二次方程）

設計意圖？搖 “APOS”模式的過程階段強調的是引導學生在自主活動中引出新概念. 這一環節的設計是為了有效喚醒學生已有的認知經驗，讓他們在對比3個方程異同的過程中自主生成“一元二次”方程的概念. 這樣，基于類比概念的方式，學生初步體會到了一元二次方程的特點是只有一個未知數，且未知數的最高次數是2.

3. 對象階段：引導語言描述，把握概念本質

“APOS”模式的對象階段就是要引導學生使用正確的數學語言對數學概念進行數學化表征，這是概念教學的關鍵所在，也是難點所在. 在教學中，筆者讓學生基于一元一次方程的基本形式對一元二次方程的形式進行表征.

（1）組織分組討論

一元一次方程的基本形式是ax+b=0（a≠0），那么，你覺得一元二次方程的基本形式是怎樣的？你能根據自己的理解對上述第二個和第三個方程進行變形嗎？

小組1：將第二個方程與第三個方程中的數字轉化為字母，可以得到（a-bx）（c-dx）=m或者a-bx=cx2.

（小組1的學生未能深入觸及一元二次方程的本質，所以在數學表征上并不準確）

小組2：通過和一元一次方程ax+b=0（a≠0）進行對比，可以得出一元二次方程的一般形式為ax2+bx=0.

（有學生認為第二個方程與第三個方程實際上與這種形式并不匹配，因為其后還有一個常數，所以不能將其視為正確的一般式）

小組3：應當將一元二次方程的一般形式寫成ax2+bx+c=0.

（要求學生對第二個方程以及第三個方程進行轉化，然后說一說其中包含幾個未知數以及未知數的最高次數，判斷其是否為方程. 當學生完成對這些問題的充分考慮之后，很多學生認為這一表達式是正確的. 但是，在這些回答中并未涉及限定條件）

（2）深化概念理解

問題1：在這個一般式中，a是否可以為0？

在討論的過程中，學生發現，當a=0時，很顯然這個一般式中就不存在二次項了，由此明白其中應存在限定條件a≠0.

問題2：在這個一般式中，b，c是否可以為0？

這一問題可以突出強調一元二次方程的基本屬性，引導學生發現當b或c等于0時，能夠得到ax2+bx=0，ax2+c=0，這是一元二次方程的特殊形式.

問題3：是否可以將等號轉化為其他符號，如大于符號或小于符號？

學生結合方程的定義明白等號不可以被替換. 在這一過程中，筆者進行拓展鏈接，讓學生明白：將等號轉化為其他符號時，會得到另一類式子，也就是一元二次不等式.

（3）促進概念內化

通過上述探究活動，可引導學生自主完成一元二次方程概念的歸納以及總結：

①只包含一個未知數，且最高項次數為2，二次項系數不等于0;

②一般情況下，關于x的一元二次方程可以轉化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，這是其一般式.

設計意圖？搖 這一環節是本課教學的主環節. 在這一環節中，筆者引導學生對一元二次方程的一般式進行自主化表征，這樣，他們在這個過程中就能對“一元二次”方程的本質進行理解，且他們在這個過程中經歷了數學對比、數學遷移、數學分析的過程，促進了他們數學思維能力的發展.？搖？搖？搖？搖？搖

4. 圖式階段：設計層次練習，引導概念應用

在本課的教學中，筆者為學生設計了以下練習：

（1）將方程5x（x-1）=4（x+2）轉化為一般式.

（2）什么條件下方程（2a-4）x2-2x+a=0為一元二次方程？什么條件下其為一元一次方程？

（3）一扇長方形門的高比寬長6尺8寸，對角線為一丈，分別求其高和寬.

（4）基于（16-2x）（10-2x）=112，聯系實際編寫一道應用題.

設計意圖？搖 “APOS”模式的最后階段是圖示階段，在這一階段中，引導學生在練習及應用中形成概念圖示是重點. 這四道練習題緊緊圍繞一元二次方程概念的本質，具有一定的梯度，能讓學生在練習的過程中對一元二次方程的概念形成正確的心理圖示.

■ 對“APOS”模式下“一元二次

方程”教學的反思

在本課的教學中，基于“APOS”模式對一元二次方程展開教學，實現了有效的循序漸進，同時能對學生的思維形成引領，親歷概念具體的生成過程，不僅架構了多維的思維活動，而且有助于深化學生對概念的理解和認知，自主完成概念建構. 數學這門學科最突出的特點在于抽象性，對師生而言，在實際教學過程中，必然要經受抽象的考驗. 如果不能徹底解決抽象性的問題，一旦學生的思維度不夠，便不利于其理解數學知識. 但是如果僅以這一理由，便抹去其誕生的現實背景，那也只能視為片面認知. 所以，在具體的教學過程中，應當為學生搭建平臺，這樣才能促使其親歷數學知識的發生以及發展過程，同時應設計合理的情境，因為只有將數學活動置于真實的情境中，才能幫助學生深入觸及概念本質.

1. 設計問題情境，引出數學活動

對于數學活動的開展，首先需要結合問題情境. 問題情境不僅要以此揭示數學知識的現實背景，還應當能夠呈現完整的形成過程. 此外，應當與學生已有的學習能力以及心理建構能力相匹配，這樣，學生在置身于相應的數學活動中時，才能獲得更豐富的體驗，才有助于激發主動參與學習和探究的興趣.

2. 經歷探究過程，提升數學思維

在揭示概念誕生的過程中，數學思維方法是其關鍵所在，同時也是促使學生自主建構概念的主線，所以，教師應當立足于實踐，為學生提供思維引領和點撥，這樣學生才能自主完成歸納總結，才能結合巧妙的設計，促使學生對所學知識展開反思，由此才能脫離現下的活動、過程階段，成功地向對象階段過渡.

3. 堅持循序漸進，激發創新意識

在學習數學概念的過程中，必須要實現階段式跨越，而其間必然要經歷多次反復，因此是一個循序漸進的長期過程. 建立對象時，首先要確保簡潔的語言形式，或者以符號來表達，這樣才能為學生架構直觀且豐富的結構表象. 當然，在概念的教學實踐中，并非所有的概念都需要呈現或者經歷所有的階段.

“APOS”理論的建立是以數學概念為基礎的，在實際的教學過程中，筆者感受到自身在角色以及任務方面的轉變，其不僅僅是為了向學生傳授知識，更重要的是要搭建良好的平臺，使學生感受到自己在這一過程中的主體地位，從而實現主動發現、主動學習. 同時，師生之間應當建立伙伴關系，這樣，所營造的學習氛圍才能平等和諧，才有助于發展學生的個性，提高其創新能力.

總之，“APOS”模式在初中概念教學中的應用，能夠有效地激發教師的創新意識，充分展現教學智慧，有助于和學生建立伙伴關系，能引導他們在課堂上對數學概念進行自主化數學探究.