關于函數(shù)動點特殊三角形問題的探究

鄧紫琳

[摘? 要] 函數(shù)動點特殊三角形問題具有函數(shù)與幾何的性質(zhì)特點，解析問題時可從函數(shù)、幾何兩大視角進行切入. 文章深入剖析問題背景，以函數(shù)動點等腰直角三角形的探究為例，總結解題策略，開展教學反思.

[關鍵詞] 動點;等腰直角三角形;函數(shù);數(shù)形結合

■ 背景綜述

近幾年，中考數(shù)學壓軸題逐步趨向動態(tài)研究. 以直角坐標系為背景，研究函數(shù)圖像中因動點形成的特殊三角形是其中較為特殊的一類，問題融合了動點、函數(shù)、幾何特性等內(nèi)容，綜合性強，備受命題人青睞.

函數(shù)圖像中動點形成的特殊三角形類型較為眾多，典型的有等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，以及具有特殊關系的相似三角形、全等三角形等. 該類問題往往以直角坐標系為背景，函數(shù)與幾何相融，圖像靈活多變，動靜結合，需要充分把握其中的幾何特性，利用函數(shù)知識來構建解析思路.

以函數(shù)動點形成的等腰直角三角形為例，解析問題時需要把握其中的“等腰”“直角”，結合幾何推理和代數(shù)運算進行問題轉化. 從幾何視角分析，可以進行等角推導、角度計算;從代數(shù)視角分析，可結合特殊角的三角函數(shù)、勾股定理的線段關系、斜率與角度關系進行突破. 往往該類問題的解析過程包含了豐富的思想方法，而靈活運用數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)學建模是解題關鍵. 本文以函數(shù)動點與等腰直角三角形為例進行探究.

■ 問題探究

1. 問題呈現(xiàn)

問題如圖1，等腰直角三角板ABC位于平面直角坐標系的第二象限，且斜靠在兩條坐標軸上，其中A（0，2），C（-1，0），拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過點B.

（1）求點B的坐標.

（2）求拋物線的解析式.

（3）拋物線上是否存在一點P（點B除外），使得△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形？如果存在，請求出點P的坐標;如果不存在，請說明理由.

2. 思路突破

上述為以直角坐標系為背景的函數(shù)動點特殊三角形問題，題干引入等腰直角三角板，需要充分利用其中的等腰和直角特性，聯(lián)系函數(shù)上點的坐標特點來突破.

（1）已知點A和點C的坐標，求函數(shù)圖像上點B的坐標，可過點B作x軸的垂線，設垂足為D，分析后可知△BCD≌△CAO. 由全等性質(zhì)可得BD=OC=1，CD=OA=2，于是OD=3. 所以點B的坐標為（-3，1）.

（2）求拋物線的解析式，只需將點B的坐標代入其中即可. 代入后可得1=9a-3a-2，解得a=■，所以拋物線的解析式為y=■x2+■x-2.

（3）該問探究拋物線上是否存在異于點B的點P，使得△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形. 解析時需要把握其中的兩大條件：一是點P位于拋物線上，二是△ACP為等腰直角三角形，且AC為直角邊. 對于其中的條件二需分類處理：①AC為直角邊，點C為直角頂點;②AC為直角邊，點A為直角頂點. 另外，該問綜合了函數(shù)與幾何知識，解析突破的視角可以有所側重，可從函數(shù)和幾何兩大視角進行突破. 下面便從這兩個視角來解答該小問.

（方法一：函數(shù)視角）①如果AC為直角邊，且點C為直角頂點. 設直線BC與拋物線的另一交點為P1，如圖2. 結合點B和點C的坐標可求得直線BC的解析式為y=-■x-■，聯(lián)立直線BC和拋物線的解析式后可求得P1（1，-1）. 過點P1作x軸的垂線，垂足為M，在Rt△MCP1中使用勾股定理，可得CP1=■=■，所以CP1=AC. 又易知∠ACP1=90°，所以此時△ACP1為等腰直角三角形，滿足條件. ②如果AC為直角邊，且點A為直角頂點. 過點A作BC的平行線，與拋物線的交點設為P2，如圖2，則可得直線AP2的解析式為y=-■x+2，聯(lián)立直線AP2和拋物線的解析式后可求得P2（2，1）. 過點P2作y軸的垂線，垂足為N，在Rt△ANP2中使用勾股定理，可得AP2=■=■，所以AP2=AC. 此時△ACP2為等腰直角三角形，滿足條件. 綜上可知，拋物線上存在滿足條件的點P，且坐標為（1，-1），（2，1）.

（方法二：幾何視角）①如果AC為直角邊，且點C為直角頂點. 延長BC至點P1，使得P1C=BC，則所得的△ACP1為等腰直角三角形. 過點P1作x軸的垂線，垂足為M. 因為CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，所以△MP1C≌△DBC. 所以CM=CD=2，P1M=BD=1. 于是可確定點P1的坐標為（1，-1），此時點P1在拋物線上，滿足條件. ②如果AC為直角邊，且點A為直角頂點. 過點A作AP2⊥CA，且使AP2=AC（點P2在y軸右側），則所得的△ACP2為等腰直角三角形. 再過點P2作y軸的垂線，設垂足為N，同理可證△AP2N≌△CAO，所以AN=OC=1，NP2=OA=2. 于是可確定點P2的坐標為（2，1），此時點P2在拋物線上，滿足條件. 綜上可知，拋物線上存在滿足條件的點P，且坐標為（1，-1），（2，1）.

■ 總結歸納

上述問題結合等腰直角三角板，以其為基礎構建了二次函數(shù). 上述求解第（3）問時，從函數(shù)解析和幾何推理兩大視角進行了假設論證，總體上采用“假設→驗證”的策略.

1. 思路構建

函數(shù)解析時通常的做法是延長線段，作平行線或垂線，利用直線與曲線相交來確定動點的位置，然后聯(lián)立直線與曲線的方程確定動點坐標. 直線解析式的求解通常利用已知點的坐標，借助斜率與幾何關系的關聯(lián)來構建，一般的思路為“構形→函數(shù)定點→特性驗證”. 幾何推理法則側重幾何特性推導，直接構建相應的等腰直角三角形，利用相似、全等來求解相關的線段長，從而確定動點的坐標，后續(xù)只需確定動點是否位于曲線上即可，即一般思路為“構形→特性定點→函數(shù)驗證”.

2. 解析步驟

函數(shù)與幾何法是探究函數(shù)動點等腰直角三角形存在性問題的兩大有效策略. 實際解析時可以綜合使用，即利用數(shù)形結合的方法，利用幾何特性，推導動點位置，借助函數(shù)解析確定動點坐標，該方式可有效排除干擾，減少討論內(nèi)容，具體步驟如下.

第一步——動點假設：假設圖像中存在滿足條件的動點.

第二步——設定分類：根據(jù)題干信息確定可能出現(xiàn)的情形.

第三步——動點定位：作圖構形，利用直線、曲線的相交確定動點的大致位置.

第四步——確定坐標：采用數(shù)形結合的方式，綜合函數(shù)與幾何方法進行條件轉化，求解動點坐標.

第五步——驗證猜想：驗證所求動點是否滿足條件，可利用兩種方法驗證，即，一，滿足幾何特性的點是否位于直線與曲線上;二，位于直線或曲線上的點是否滿足幾何特性.

■ 教學反思

函數(shù)動點特殊三角形存在性問題有著極高的教學價值，有助于學生融合知識，提升能力，下面提出幾點教學建議.

1. 歸納問題特點，探尋問題本質(zhì)

涉及函數(shù)動點的特殊三角形問題是拋物線、直線、幾何相結合的重要表現(xiàn)形式，該類問題往往借助動點來構建特殊的三角形，具有函數(shù)與幾何相融的特點，其中點的坐標是串聯(lián)兩大知識模塊的紐帶. 在教學中，教師要引導學生深刻認識問題中函數(shù)與幾何相融的本質(zhì)，歸納特殊三角形的性質(zhì)特點，總結兩大知識聯(lián)系緊密的性質(zhì)、定理，如勾股定理、三角形相似性質(zhì)、銳角三角函數(shù)知識等，幫助學生奠定該類問題求解的知識基礎.

2. 總結問題解法，形成解題策略

上述所探究的問題屬于函數(shù)與幾何相結合的典型代表，其解析方法具有一定的研究價值，其中的函數(shù)解析與幾何推理方法是常見的突破思路，實際上也是問題條件轉化的基本策略. 教學中，可引導學生總結兩種方法的解析特點，從函數(shù)與幾何的聯(lián)系點出發(fā)，總結解題思路，幫助學生形成數(shù)形結合解析思維. 實際教學中，可采用一題多解的方法設置典型例題，從不同的視角開展問題探索，使學生深刻認識問題，形成解題策略.

3. 滲透思想方法，提升數(shù)學思維

函數(shù)與幾何綜合題同樣也是對數(shù)學思想的考查，因此，教學中需要合理滲透思想方法，使學生體驗利用思想方法探究問題的過程. 如上述綜合題教學中，需重點滲透數(shù)形結合思想、分類討論思想、數(shù)學建模、化歸與轉化思想，通過數(shù)學建模降低思維難度、設定分類標準，綜合轉化思想來轉化條件，構建解題思路. 教學過程中重視知識與方法相融，思想與思維激發(fā)，利用思想方法教學來拓展學生的視野，提升學生的思維.