以元認知引領高中學生數學深度學習的實踐

湯鴻

[摘? 要] 深度學習主要強調學生在學習的過程中必須理解所學內容，要能夠在學科內容的學習中掌握學科思想方法，形成一定的問題解決能力，形成一定的批判性與創新性，而且能夠將形成的能力遷移到新的領域當中. 從認知的角度來看，深度學習不僅關注學生的認知建構，更關注的是如何建構這些知識，這實際上就是關于認知的認知，也就是元認識. 在高中數學教學中要想讓深度學習發生，最關鍵的就是抓住學生的思維，只有學生的思維活躍起來，并且有明確的目標指向，那這樣的學習過程就會具有深度學習的幾乎全部特征.

[關鍵詞] 高中數學;深度學習;元認知

今天的高中數學教學，面臨著新的形勢，主要形式在于數學學科核心素養的培育. 當前已經形成了一個基本共識，那就是核心素養作為教學的目標，其實現需要具體的途徑. 在探究數學學科核心素養的落地途徑的過程中，人們發現深度學習是最好的選擇之一. 對于深度學習的理解與實踐，要超越經驗層面，不能認為深度學習就是有難度的學習，實際上深度學習最初來源于人工智能領域，計算機專家在研究機器的學習過程中，借助于學習科學理論，對機器的學習設計了一套完整的程序，相對于一般的學習而言，這樣的程序運用之下機器學習表現出了高度的智慧特征，因而被認為是深度學習. 將這樣的思想遷移到教育領域，人們發現在面向學生的學習時，也可以形成一套深度學習的理論. 就當前的理解而言，深度學習主要強調學生在學習的過程中必須理解所學內容，要能夠在學科內容的學習中掌握學科思想方法，形成一定的問題解決能力，形成一定的批判性與創新性，而且能夠將形成的能力遷移到新的領域當中.

很顯然深度學習不止指向學習結果，更指向學習過程，從認知的角度來看，深度學習不僅關注的是學生的認知建構，更關注的是如何建構這些知識，這實際上就是關于認知的認知，也就是元認識. 在高中數學教學中，用元認知來引導高中學生的數學深度學習，是一個值得探究的話題.

■高中數學深度學習過程中的元認知價值探究

具體到高中數學學科當中，數學深度學習可以被認為是包含深度分析、深度設計、深度實踐、深度評價等四個維度的學習. 結合具體的數學知識的構建過程，從學生的思維出發，創設教學情境，促進學生在數學知識構建的過程中完成能力的培養與遷移，是深度學習四個維度的重要體現. 在教學實踐當中要想體現出這四個維度，關鍵在于數學教師要利用深度學習的理念去指導高中數學教學，需要教師認識到數學知識構建的復雜性，認識到需要尊重學生的認知規律，認識到數學體驗需要的情境性.

以“空間中直線與直線之間的位置關系”為例，筆者注意到對于這一內容的教學而言，有兩個基本的教學環節：一是學生大腦當中要有清晰的空間中直線與直線之間的位置表象，二是學生要能夠用數學語言描述空間中直線與直線之間的位置關系. 從元認知的角度來看，教學中必須讓學生認識到這兩點，只有學生自己認識到這兩點，他們才會意識到自己的認識，對于某一個具體數學知識的建構起著什么樣的作用. 這實際上是一個引導學生認識數學學習過程中元認知價值的過程. 在這樣一個過程里，教師不必強調具體的元認知或者深度學習的概念，但是可以讓學生生成一些樸素的想法. 比如“高中數學學習過程中，既要‘學會更要‘會學，前者是面向學習結果的，后者是面向學習過程的，如果不能做到會學，那就很難說能夠做到學會”，還可以跟學生強調“在高中數學學習的過程中，只有關注自身的能力形成，才能讓數學難題在自己（學生）面前迎刃而解”……這些教育與引導，往往可以讓學生對深度學習以及元認知產生直接的認識.

■以元認知引導高中學生數學深度學習的實踐

當教師與學生同時關注到元認知以及深度學習的作用之后，那么對于教師而言，主要的任務就是用元認知引導高中學生數學深度學習的實踐. 一般認為，深度學習指向思維的深刻性，高中數學教學中通過有效情境的創設，通過問題的撬動，可以讓學生在數學知識構建的過程中思維的參與度變得更高. 基于這樣的認識，筆者在“空間中直線與直線之間的位置關系”的教學中，進行了這樣幾步設計：

一是向學生提出問題：要想清晰地認識到空間中直線與直線之間的位置關系，你覺得你的大腦當中應當具有什么樣的圖景？事實證明，學生在回答這個問題的時候，能夠結合生活中的一些實際情形去思考. 比如有學生思考教室里的日光燈的關系——黑板前的日光燈是南北走向的，頭頂上的日光燈是東西走向的;也有學生舉出生活中電線桿的例子——電線桿是豎直方向的，電線是水平方向的……學生能夠舉出這些例子，說明上述問題驅動學生進行了一個默會的思考：要想知道空間中直線與直線之間的位置關系，那么大腦當中就必須有相應的圖景. 這個認識實際上就是元認知的產物，從學習心理學的角度來看：學習空間中直線與直線之間的位置關系時，學生從文字表述上獲得的是抽象的理解，要想讓這個理解真正生成，學生在教師的問題引導之下，認識到必須有一個形象的表象作為支撐. 正是因為這一認識，他們會下意識地到生活中尋找素材，而找到了相應的素材之后，建構空間中直線與直線之間的位置關系就變得更加容易了. 這樣一個從抽象到形象、再由形象到抽象的過程，是在學生表象加工的基礎上，形成數學認識的過程，是一個理解學習，也是元認知驅動下的深度學習的基本表現.

二是對表象加工的結果進行分類. 實際上在學生舉例的過程當中就已經發現，空間中直線與直線之間的位置關系并不是唯一的，有時候兩條直線在同一平面上，有時候兩條直線在不同的平面上，即使兩條直線在同一平面上，也有相交與不相交兩種情形. 這樣的認識首先是建立在表象基礎之上的，其后再是用數學語言去描述的. 此過程中教師可以提問：如果讓你們將空間中兩條直線的位置關系進行一個完整的分類描述，你們會如何描述？學生在回答這個問題的時候，會思考什么叫完整的分類描述. 一番自主思考與合作交流之后，他們會理解筆者的意圖：所謂完整就是沒有遺漏，而所謂分類關鍵是找到一個分類標準. 這實際上就是一個引導學生生成元認知的過程，它會讓學生認識到要描述空間中直線與直線之間的位置關系，就必須進行完整的分類. 而一旦認識到這一點，學生的思維就能夠活躍起來，空間中的兩條直線要么在同一個平面，要么不在同一個平面——轉換為數學語言，就變成了共面直線與異面直線（由于有了前面的思維作為基礎，這兩個概念的得出變得非常自然）……

如果站在學生思維的角度看這樣一個教學過程，就會發現知識是學生自主總結出來的，從表象的建立到加工，再到用數學語言去進行描述，當學生能夠自主完成這一過程時，是可以認定深度學習已經發生了. 而深度學習之所以能夠順利發生，本質上就是因為學生的元認知在發揮作用.

■元認知與深度學習同時指向學生的深度思維

在上面的分析當中可以發現，在高中數學教學中要想讓深度學習發生，最關鍵的就是抓住學生的思維，只有學生的思維活躍起來，并且有明確的目標指向，那這樣的學習過程就會具有深度學習的幾乎全部特征. 學生的思維要想活躍，那就必須有明確的加工對象，在上面的例子當中讓學生形成表象，就是這個目的. 而很顯然，表象的形成可以由學生的元認知來驅動，從這個角度來看，元認知實際上也是指向學生的思維的. 由此也可以認為，在深度學習的環境當中，元認知與深度學習同時指向學生的思維，而且是深度思維. 比如在上面的例子當中，有學生提出：要認識空間兩條直線的位置關系，還可以尋找到更好的模型（學生此時明確說出了模型的概念，殊為不易，這不僅是數學學科核心素養中數學建模素養要素落地的充分體現，同時還是元認知的一種體現）. 這個模型就是長方體，只要把長方體的棱看作直線，那就能夠找到好多組共面直線與異面直線，這樣理解起來更加便捷……

很顯然這個學生的思路，就是對空間兩條直線的位置關系的理解，建立在長方體這一模型的基礎之上. 這種自主思考的結果，依然具有深度學習的特征，自然更是學生元認知的產物.

由此也可以發現，深度學習實際上是基于學生自身動機，對富有價值意義的數學知識進行系統的、完整的、深刻的學習，是一種階梯性的學習方法. 在這樣一個階梯上，學生的思維螺旋上升、不斷發展，數學知識的建構與數學思想方法的掌握不斷實現，數學問題的解決會越來越順利. 如此堅持下去，學生就會適應元認知驅動之下的深度學習的實踐方式，從而使數學學科核心素養的落地途徑更加堅實.