初中數(shù)學(xué)微專題設(shè)計(jì)案例舉隅

【摘要】微專題設(shè)計(jì)是一種教與學(xué)的新模式。通過對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)做深入的系列化研究，找到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的薄弱點(diǎn)和思維的拐點(diǎn)，以“小”見“大”，培養(yǎng)學(xué)生的直觀感知能力;由“表”及“里”，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力“;精”益求“精”，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

【關(guān)鍵詞】微專題;設(shè)計(jì)案例;初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2020）83-0041-04

【作者簡介】陳冬，江蘇省張家港市妙橋中學(xué)（江蘇張家港，215615）副校長，高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師。

初中數(shù)學(xué)微專題是常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種補(bǔ)充。它強(qiáng)調(diào)立足于學(xué)生實(shí)際和學(xué)習(xí)要求，對(duì)一些問題進(jìn)行仔細(xì)梳理、篩選與提煉，從中遴選出切入口小、針對(duì)性強(qiáng)、角度新的微型問題進(jìn)行突破，以達(dá)到相關(guān)教學(xué)目標(biāo)。基于這樣的特點(diǎn)，筆者以為，微專題中，“微”只是形式，

“專”才是其本質(zhì)。微專題設(shè)計(jì)，不宜標(biāo)新立異，而應(yīng)有機(jī)穿插，以“小”見“大”，旨在對(duì)常規(guī)教學(xué)做補(bǔ)充。為此，微專題的設(shè)計(jì)應(yīng)更符合學(xué)生實(shí)際，例如可以從初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“考點(diǎn)”的細(xì)化、“知識(shí)點(diǎn)”的延伸、“易錯(cuò)易混點(diǎn)”的辨析、

“思維角度”的轉(zhuǎn)換、“邊緣知識(shí)”的滲透等角度去研究與設(shè)計(jì)微專題。此外，微專題教學(xué)還有利于學(xué)生相關(guān)能力的培育，筆者從自己的實(shí)踐出發(fā)，現(xiàn)舉例如下。

一、培養(yǎng)學(xué)生直觀感知能力

微專題1：銳角三角函數(shù)的應(yīng)用。

筆者的大體設(shè)計(jì)如下：

首先，給學(xué)生提供如圖1所示的兩塊三角板（其中BC=EF），由學(xué)生進(jìn)行拼接，引出本節(jié)課的主題圖（圖2和圖3）;

其次，分別給圖2和圖3中三角形的角度與邊長賦值，讓學(xué)生求其他邊長。例如在圖2中，已知∠A=30°，∠BDA=45°，問：若BD=2，則能求出其他的邊長嗎？若AB=2呢？

最后，給出一道拓展題，供學(xué)生研討。

如圖4，在一筆直的海岸線上有A、B兩個(gè)觀測站，A在B的正西方向，AB=2km，從A測得船C在北偏東56°的方向，從B測得船C在北偏西20°的方向，求船C確到0.1km）。（sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)教學(xué)專家羅增儒教授在《解題學(xué)引論》中提出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會(huì)得出有長久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來，并作有目的的簡單編碼。當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已經(jīng)解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略。”羅教授這里說的“模式”，筆者的理解就是指數(shù)學(xué)模型。因此，在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要提醒學(xué)生重視數(shù)學(xué)模型，注意積累和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，從而提高解題能力。本案例從學(xué)生十分熟悉的兩塊三角板入手，通過拼接逐漸發(fā)展變化形成“主題圖”，在“主題圖”變化的過程中，不僅發(fā)展了學(xué)生的直觀感知與思維能力，而且讓學(xué)生思考如何解決此類問題。找到了解決此類問題的關(guān)鍵，總結(jié)出了解決此類問題的策略，學(xué)生解決此類問題的能力才能得到提升。

二、培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力

微專題設(shè)計(jì)往往從根源上一挖到底，將某一類問題研究透徹，使學(xué)生對(duì)這類問題能有一個(gè)清晰而透徹的認(rèn)識(shí)，也使學(xué)生的學(xué)習(xí)能由橫向上的“細(xì)致”走向縱向上的“深入”。由此，微專題設(shè)計(jì)要由“表”及“里”，著力培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

微專題2：圖形的翻折。

筆者的大體設(shè)計(jì)為：

先帶領(lǐng)學(xué)生回顧如何找出對(duì)稱點(diǎn)、利用對(duì)稱性畫出翻折后的圖形、翻折后圖形的性質(zhì)等已學(xué)知識(shí)，再精選例題進(jìn)行講解。

例1：（1）如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=0°，∠A<∠B，CM為斜邊上的中線，將△ACM沿著直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，若CD⊥AB，則∠A=_______°。

（2）如圖6，長方形紙片ABCD的長為9，寬為3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，求折疊后DE的長。

例2：如圖7，已知矩形ABCD，將△BCD對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F。根據(jù)圖形，先畫出翻折后的圖形，你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些因翻折而產(chǎn)生的相等的角和線段？

（1）若∠ADE=40°，則∠EBD=_______°;

（2）若AB=4，BC=8，求AF的長度;

（3）連AE，求證：AE∥BD。

延伸思考：

（4）在（2）的情況下，S△AEF=_______;

（5）延長BA、DE相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF并延長交BD于點(diǎn)H，求證：GH垂直平分BD。

【設(shè)計(jì)意圖】本案例要求學(xué)生能理解圖形翻折的直觀意義，認(rèn)識(shí)平面圖形翻折的過程，在實(shí)例中理解軸對(duì)稱的意義。根據(jù)要求能畫出依線翻折后的圖形，知道翻折后圖形的形狀、大小保持不變，能運(yùn)用翻折后的圖形的性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生解綜合問題的能力。例1的第（1）小題，先顯示翻折圖形，問學(xué)生這個(gè)圖是如何作出來的，教師演示作圖過程。第（2）小題可以師生互動(dòng)完成作圖，通過動(dòng)態(tài)演示，達(dá)到直觀效果，也啟發(fā)學(xué)生由翻折后圖形的性質(zhì)作為已知條件解決本題。例2第（1）小題是相關(guān)角度的計(jì)算，第（2）小題是相關(guān)線段的計(jì)算，第（3）小題是相關(guān)幾何證明。這三個(gè)小題都圍繞“折疊的性質(zhì)”展開，折疊是一種對(duì)稱變換，屬于軸對(duì)稱。折疊前后圖形形狀、大小不變，只是位置變化，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。思考題屬于提高部分。第（1）題與面積相結(jié)合，兩個(gè)三角形是同高，面積之比等于底之比;第（2）小題需要用到“線段垂直平分線的判定定理”。本案例看似是簡單的“圖形翻折”，但就“圖形翻折”深挖，層層推進(jìn)，不僅讓學(xué)生看到了“圖形翻折”的很多知識(shí)，而且也利用“圖形翻折”漸漸地培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理能力。

三、培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力

微專題設(shè)計(jì)的一個(gè)明顯特征就是“精”，主要體現(xiàn)在精選例題，讓學(xué)生就題目的不同特點(diǎn)選擇不同的方法，提高選擇合適方法解決問題的能力;精準(zhǔn)練習(xí)，讓學(xué)生去悟透其包含的數(shù)學(xué)思想方法，從中獲得一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此微專題要設(shè)計(jì)“精”益求“精”，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

微專題3：動(dòng)態(tài)問題中的相似三角形——全等變換與相似三角形。

筆者設(shè)計(jì)了4個(gè)環(huán)節(jié)6道例題來進(jìn)行此微專題的教學(xué)。

（1）課前導(dǎo)學(xué)。

例1：如圖8，在△ABCA中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處。則線段CD的長度為。

例2：如圖9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。將直角△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△A1B1C位置，再將△A1B1C沿射線CB平移到△A2B2C1位置，若點(diǎn)B2恰好落在AB上，則平移的距離是。

（2）典例導(dǎo)悟。

例3：如圖10，將△ABC繞著頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，旋轉(zhuǎn)角度為α（0<α<180°），連接AA′，BB′，射線BB′交AC于點(diǎn)M，交AA′于點(diǎn)N。求證：AM/BM=MN/MC。

例4：如圖11，△ABC為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC邊上一點(diǎn)，將△AEF沿EF翻折，使A點(diǎn)落在線段CB上的點(diǎn)D處，且BD=2。求線段AE的長。

（3）學(xué)以致用。

變式1：如圖12，△ABC為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為射線AC上一點(diǎn)，將△AEF沿EF翻折，使A點(diǎn)落在射線CB上的點(diǎn)D處，B且BD=2。求△BDE與△CFD的周長比。

（4）拓展延伸。

變式2：如圖13，△ABC為等邊三角形，其邊長為8，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，使點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)。問：當(dāng)線段BE為何值時(shí)，線段AM最短，最短是多少？

【設(shè)計(jì)意圖】通過“課前導(dǎo)學(xué)”的兩道例題，師生一起回顧了“平移、旋轉(zhuǎn)、翻折”三種變換;初步感受了動(dòng)態(tài)變換中雖然圖形位置發(fā)生了改變，但對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角沒有改變的特征，從而抓住“變中不變”這個(gè)特點(diǎn)，通過相似三角形的性質(zhì)，建立方程模型求解問題。例1和例2讓學(xué)生經(jīng)歷了“通過相似三角形的性質(zhì)建構(gòu)方程模型來解決問題”的過程，例2還出現(xiàn)了“一線三等角”相似模型。變式1是在例2的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，讓學(xué)生充分接觸并體會(huì)了“多題一解、變中不變”的解題策略。變式2再次出現(xiàn)“一線三等角”相似模型，通過相似三角形的性質(zhì)建構(gòu)函數(shù)模型解決問題。整堂課雖然題目不多，但是精挑細(xì)選，一題多變，題題相連，三種變換一應(yīng)俱全，讓學(xué)生經(jīng)歷了“尋相似三角形，證相似三角形，用相似三角形”的過程，充分感受到了相似三角形在解決動(dòng)態(tài)變換問題中發(fā)揮的作用，達(dá)到“會(huì)一道，明一串”的效果。

綜上，微專題設(shè)計(jì)是常規(guī)課堂教學(xué)的有機(jī)穿插和補(bǔ)充，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足和缺陷，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化和創(chuàng)新。借助微專題設(shè)計(jì)，可以在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，活化數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，真正實(shí)現(xiàn)從知識(shí)本位的掌握走向關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。但微專題設(shè)計(jì)中選擇的難易度、切入的角度、挖掘的深度等方面的把握仍需要我們一線數(shù)學(xué)教師展開進(jìn)一步探討。

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