多元函數極值的充分條件教學過程

陳俊霞，王振緯，姚曉閨

(陸軍炮兵防空兵學院 基礎部數學教研室，合肥 230031)

1 引言

在大多數《高等數學》教材中，證明多元函數極值的充分條件的理論依據都是二元函數的泰勒公式[1]。但二元函數泰勒公式是選學內容，在課堂教學中，教師往往選擇不證明，直接給出結論。這就導致學生往往對充分條件一知半解，只會死記硬背、套用公式，缺乏學習興趣。為此，筆者查閱了相關資料[2-3],并結合自己多年在實踐教學中的體會，整理出一種相對簡單的證明方法，并在實際課堂教學中堅持啟發式原則，逐步分析定理所需的條件，引導學生共同分析討論，取得了良好的教學效果。

2 教學過程

首先要向學生說明，要證(x0,y0)為極值點，就要找到(x0,y0)的某一個空心領域，使得這個空心領域當中的任何一點(x,y)對應的函數值都大于或小于f(x0,y0)。這里的(x,y)也可以用極坐標來表示：

令

x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ，θ∈[0,2π]

f(x,y)=f(x0+rcosθ,y0+rsinθ)h(r,θ)，

則對于任意給定的θ∈[0,2π],h(0,θ)=f(x0,y0)。

因此，有非常重要的結論：

對于任意給定的θ∈[0,2π]、h(r,θ)、h(r,θ)-h(0,θ)均為r的一元函數。

接下來，由一元函數的泰勒公式，設h(r,θ)在r=0的某一個領域內具有二階導數，那么有：

(1)

根據假設，由于(x0,y0)為駐點，則有：

hr(0,θ)=fx(x0,y0)cosθ+fy(x0,y0)sinθ=0，且o(r2)為無窮小量，所以對于(1)式，h(r,θ)-h(0,θ)的符號取決于hrr(0,θ)的符號。

當hrr(0,θ)恒大于0時，(x0,y0)是極小值點；當hrr(0,θ)恒小于0時，(x0,y0)是極大值點。但對于不同的θ,hrr(0,θ)，可能存在有時大于0、有時小于0的情況，那么對應的(x0,y0)就不是極值點。

接下來著重討論hrr(0,θ)的符號。再次利用復合函數的鏈式法則：

hrr(0,θ)=fxx(x0,y0)cos2θ+fxy(x0,y0)cosθsinθ

+fyx(x0,y0)cosθsinθ+fyy(x0,y0)sin2θ

(2)

引導學生觀察(2)式的特點，若z=f(x,y)在相應的點(x0,y0)的一個領域具有連續的二階偏導數，則有：

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)所以(2)式可以寫成如下形式：

(3)

(3)式是以cosθ,sinθ為變量的二次型，

令

結合二次型的性質，H正定時，(x0,y0)為極小值點；H負定時，(x0,y0)為極大值點。事實上，對于一元函數，如果在駐點處的二階導數大于0，那么在該點處取得極小值。如果在駐點處的二階導數小于0，那么在該點處取得極大值。

這里可以與一元函數的極值結論作對比，引導學生體會數學統一的美感。海塞矩陣在多元函數極值中的地位，就相當于二階導數在一元函數極值中的地位。

那么，怎樣判斷一個實對稱陣是否正定呢？為了方便，記：

fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C。

當A>0,AC-B2>0時具有極小值；當A<0，AC-B2>0時有極大值；當AC-B2<0時無極值。

這樣就完成了多元函數極值的充分條件的證明。

綜合以上證明過程，引導學生總結出極值的充分條件與結論，即：

若z=f(x,y)在點(x0,y0)的一個領域具有連續的二階偏導數，且(x0,y0)為駐點，令fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，則有：

當A>0，AC-B2>0時具有極小值；當A<0，AC-B2>0時有極大值；當AC-B2<0時無極值。

3 結語

本研究圍繞如何提高多元函數極值充分條件教學的有效性和趣味性展開探討，簡化了多元函數的充分條件的證明過程。通過極坐標變換，把二元函數轉化為特定的一元函數，把復雜問題簡單化。始終堅持啟發式原則，逐步分析定理所需的條件，引導學生總結從駐點過渡到極值點的條件。綜合利用二次型正定、負定的相關結論，注重與學生共同分析討論，引導學生構造充分性的相關條件與結論。使學生能夠積極思考，真正參與教學活動，體現了學生學習的主體地位，而不是僅僅會套用公式，提高了課堂的學習效率，激發了學生的學習興趣。