隨機(jī)變量的特征函數(shù)在概率論中的應(yīng)用

白偉華

(韶關(guān)學(xué)院 韶州師范分院數(shù)學(xué)系，廣東 韶關(guān)512009)

0 引言

在概率論中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)刻畫(huà)了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但有時(shí)分布函數(shù)或概率密度這些工具使用起來(lái)并不方便，如計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量和分布的概率密度，用卷積求很麻煩，過(guò)于復(fù)雜，通過(guò)數(shù)字特征并不能完全反映出隨機(jī)變量的分布規(guī)律，但確定它的特征函數(shù)比較容易。由于分布函數(shù)和特征函數(shù)之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在得知特征函數(shù)后就可知道分布函數(shù)。經(jīng)過(guò)不斷探索與研究，發(fā)現(xiàn)特征函數(shù)是處理許多概率論問(wèn)題的有力工具。

1 有關(guān)概念及結(jié)論

現(xiàn)將本研究中涉及的有關(guān)概念及結(jié)論列舉如下，不予證明，詳見(jiàn)(1)(2)。

1.1 特征函數(shù)的定義

設(shè)x是隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量eitx=costx+isintx的數(shù)學(xué)期望。

fx(t)=E(eitx)=E(costx)+iE(sintx)，-∞

(1)

為x的特征函數(shù)。

因?yàn)閷?duì)任何實(shí)數(shù)t，E|costx|≤1,E|sintx|≤1, 所以fx(t)對(duì)一切實(shí)數(shù)有定義，即任一隨機(jī)變量的特征函數(shù)總是存在的。

當(dāng)離散型隨機(jī)變量x的分布律為：pk=p(x=xk),k=1,2,…

則x的特征函數(shù)：

(2)

當(dāng)連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為p(x)， 則x的特征函數(shù)：

(3)

1.2 特征函數(shù)的性質(zhì)

①fx(o)=1, |fx(t)|≤1 -∞

③設(shè)y=ax+b，其中a，b是常數(shù)，則fy(t)=eitbfx(at)

④設(shè)x，y獨(dú)立，則fx+y(t)=fx(t)·fy(t)

1.3 特征函數(shù)的唯一性定理

若x是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為p(x)，有特征函數(shù)fx(t)，則有

1.4 特征函數(shù)的逆轉(zhuǎn)公式

設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F(x)，有特征函數(shù)f(t)，x1與x2為F(x)的任意兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)，則有

2 特征函數(shù)的應(yīng)用

2.1 求隨機(jī)變量的分布

例2：試證f(t)=cost為一特征函數(shù)，并求它所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量x的分布。

2.2 求隨機(jī)變量的數(shù)字特征

例3：設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為α,β的Γ分布，求其數(shù)學(xué)期望和方差。

且iE(x)=f′(0),i2E(x2)=f″(0);

2.3 求獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布

由于分布函數(shù)和特征函數(shù)之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，從而知：

例5：設(shè)x1,x2和x3是相互獨(dú)立的,且服從正態(tài)分布N(0,1)，試求隨機(jī)變量Y1=x1+x2和Y2=x1+x3組成的(Y1，Y2)的分布。

解：(Y1，Y2)=(x1+x2,x1+x3)

∵xi～N(0,1),i=1,2,3,

∴(x1,x2,x3)～N(0,E3),

從以上5個(gè)例子可以看出，有些概率問(wèn)題利用分布函數(shù)很難給出證明，即使能給出證明也很麻煩，而利用特征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)性質(zhì)便可很巧妙地給出證明，這充分說(shuō)明了注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系是很重要的。