問題驅動在學生幾何證明學習的實踐研究

張碧芬

【摘要】? 幾何是整個初中數學的重要內容，一直被視為初中教學的重點、難點。它不僅涉及到計算，還需要在解題過程中不斷強化學生的邏輯思維，從中尋找切入點。但是這一切入點對于初中生而言，學習比較困難。問題是數學的心臟，以問題驅動引導學生學習，應當成為初中數學教學中的一條基本原則。因此，在初中幾何教學中，必須正視初中生幾何證明存在的問題，通過分析問題，改善教學，提高教學的質量。本文以初中生《三角形全等的判定定理》的幾何證明題為研究視角，對初中生幾何證明的學習現狀進行了簡單的分析，給出自己對幾何證明的幾點教學建議和教學片斷案例，為教師的教學提供一些參考依據。

【關鍵詞】? 問題驅動 幾何證明 實踐

【中圖分類號】? G633.6? ?? ? ? ? ?【文獻標識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）33-077-02

一、初中生幾何證明的學習問題——以《三角形全等的判定定理》為例

本文通過測試八年級學生在學完《全等三角形的判定定理》后，配合訪談，總結八年級學生在幾何證明中存在的學習現狀，發現學生在幾何證明中的學習問題，參考教材及相關資料編制出測試卷，以本校八年級六個班共265名學生為樣本進行測試，根據回收卷的統計結果，對學生存在的問題進行分析。

根據回收卷，學生在幾何證明的學習中出現的問題如下表所示：

分析回收卷與訪談結果，總結出初中生在幾何證明學習中存在以下的問題：

1. 學生在對幾何基礎知識的識記和理解不熟練，容易忽略定理的適用范圍。

2. 對于需要添加輔助線來完成推理證明的題，找不到連接條件與結論的切入點。

3. 文字命題和實際問題中，對幾何圖形的抽象存在一定的困難;無法結合題目與圖形，找出已知與求證。

4. 幾何證明書寫時，學生往往出現循環、虛假論證或偷換命題等情況;學生的幾何語言比較混亂，主要是表達較為隨意，往往出現多余的書寫步驟，或漏掉必要的步驟。

二、教學建議及教學片斷案例

1. 重視概念，做好基本功練習

在上述回收卷中第1-3題，有20.3%的學生均是對概念的理解不透徹，導致做錯。在幾何的學習過程中，幾何證明中的定理、概念、公式是作為論證推理的依據。對于基礎知識和基礎概念的教學中，教師應當加強重視。對于基礎知識、基礎概念的講解要透徹，教師根據規律和特點，結合已有知識或實際例子幫助學生進行理解，充分發揮教師的主導作用和學生的主體功能。而問題驅動對于新課的導入更能讓學生印象深刻。比如，以角的平分線的性質和判定的教學引入為例，可以設計成：

問題1：什么是角的平分線？

問題2：如圖，是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放正，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說出它的道理嗎？

問題3：怎么做一個角的角平分線？

問題4：你能說出角平分線所蘊含的數學道理嗎？

問題5：若過E點作到角兩邊的垂線，量一量線段的長度，你能發現什么？

問題6：能否用數學語言總結你發現的數學規律？

通過問題串，學生經歷了由回顧舊知，動手將角平分線從理性知識轉化為感性知識，最后再轉化為理性知識的過程。這樣設計不僅吸引學生的注意力，還加深學生對角平分線的概念的理解，強化了學生的作圖能力，對于后續角平分線的性質和判定的學習打下了堅實的基礎。

2. 注重練習輔助線的基礎

在上述回收卷中，有45.2%的學生基本能做出正確的輔助線，但仍有25%的學生對于輔助線毫無頭緒。在初中學習中，證明線段或角的關系，多是利用全等三角形或圓的相關知識進行求解。往往需要添加輔助線構造全等三角形或添加輔助線——圓切線進行解決。而利用輔助線主要是幫我們找準題目的切入點，把問題簡單化。因此，教師在平時的教學中，應當注重練習輔助線的添加。以下題為例：

原題是：如圖1，已知△ABC是等邊三角形。D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，AE、CD交于點F.求∠BFE的度數。

把本題設計成以下三個問題：如圖1，已知△ABC是等邊三角形。D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，AE、CD交于點F.

（1）求證：△ACE≌△CBD

（2）過A作AG⊥CD于G，求證：AF=2FG

（3）如圖2，若BF⊥AF，求CF/AF的值。

問題1立足于原題，問題2是通過作點AG⊥CD，利用直角三角形中，30°所對的邊等于斜邊的一半可以解決問題，問題3在問題1、2的基礎上加深難度，也添加了輔助線。一道題可以修改成3個問題串，通過平時練習題一次又一次的輔助線的訓練，幫助學生把輔助線的概念深入腦海?；谝延械臄祵W輔助線基礎，學生以后遇到相類似的題型，就能進行模仿解決數學幾何證明問題。教學中，教師要強調添設輔助線是為了解決問題，所以不能脫離命題的條件和結論去隨意添加。在尋找輔助線時，要立足于對題目的分析，進行大膽的嘗試。

3.注重邏輯思維能力的培養

在上述回收卷中，發現第8小題有超過35.4%的學生出現邏輯錯誤，或用不成立的條件得出結論，或用循環使用條件和結論，或把結論和條件顛倒使用，或是把命題更改，進行了錯誤的論證。結合與學生的訪談，發現學生的邏輯能力較為薄弱，對于邏輯性強的數學學科，這是一個短板。因此，教師在平時的教學中應當注重學生邏輯思維能力的培養。比如，在命題的教學中，可以如此設計：

問題1：“對頂角相等”研究的對象是誰？它具有什么性質？

問題2：什么叫命題？

問題3：什么叫條件？什么叫結論？

問題4：命題當中的條件實質上是什么？命題當中的結論實質上是什么？

問題5：你能用陳述句陳述“對頂角相等”嗎？

問題6：如何改寫“等腰三角形底角相等”？

學生在一連串的問題下，不僅能確切的掌握住命題的概念，還掌握了把數學結論改寫成一般陳述句的數學技能。在掌握命題的概念后，學生的數學邏輯思維能力得到了訓練，能確切的識別出條件與結論的關系，對于后續幾何證明的書寫，奠定了基礎。在教學過程中，教師應教會學生使用分析法。即先從結論出發，思考要證明這個結論需要什么條件，而要使這些條件成立的條件又是什么？從結論反推回條件，直至所需要的條件同已知條件吻合，這有利于培養學生的推理能力。

4.明確證明過程的書寫要求

在本次測試卷中，除1、2題是客觀題，其余均為解答題，1、2、3班有超60%的同學能使表述清楚證明過程，4、5、6班近一半的學生能基本表述清楚。幾何語言作為幾何的專門性語言，包括了圖形、符號和文字語言。使用好幾何語言對掌握幾何證明題有很大影響。因此，在學習幾何時，教師必須明確證明過程中的書寫要求。

在學生開始書寫幾何證明過程時，教師應要求他們每一步都注寫依據，使學生清楚知道每個推理都有充分的因果和理由，而且因果關系合理。教師對于例題的板書更需要嚴謹，學生對于幾何語言的使用是通過模仿老師的板書養成的。當學生養成了一定的說理習慣后，才可以適當減少部分標注。如已知條件，已知概念的定義等。在學生掌握基本的推理形式后，各個推理間要有一定的邏輯順序與聯系。在證明過程中，切忌一開始把所有條件全盤托出，缺乏推理之間的邏輯順序。

學生在書寫幾何證明過程中，教師要求學生幾何字符要對應，要同序。這樣不僅可以在學生的潛意識中不斷強化對基礎知識的理解和記憶;還可以培養學生有根有據討論問題的習慣;同時，也有利于教師及時發現學生在推理過程中所反饋出來的缺陷。

總之，在幾何證明的教學中，應根據學生所反饋出來的問題采取相應的教學措施，而問題驅動始終貫穿在數學教學中。筆者僅從平時的教學中總結教學經驗，提出教學建議和教學問題片斷案例，供研討。

[ 參? 考? 文? 獻 ]

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