習題教學中讓學生參與題目變式的嘗試

袁文平

【摘要】根據荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾的觀點“學習數學的唯一正確的方法是實行再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或者創造出來，教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造，而不是把現成的知識灌輸給學生.因此，我們在教學中可以試著讓學生成為改編的主體，讓學生真正成為題目的改編者，甚至創造者.

【關鍵詞】習題教學;變式;改編;模型;經驗積累

在平時的習題變式教學中，教師們慣用的是“題目—變式訓練”模式，而變式的主體是教師，也就是教師本人將題目原型進行變式，再讓學生進行訓練，進而達到鞏固的目的.做變式訓練題，毫無疑問，學生是喜歡的.如果學生成為題目的改編者，那么是不是更有味道呢？對于這類嘗試，我通過長期的教學實踐，取得較好的效果.我以浙教版教材中的一道習題和資料中的一道習題為例，大膽進行了讓學生參與題目變式的嘗試，下面來談談自己的一些收獲與感想.

一、一道教材習題引起的改編大潮

1.教材習題展示

浙教版八年級（下）數學教材95頁中有這樣一道題目：如圖1，已知E，F分別是ABCD的邊BC，AD上的中點，求證：AE=CF.

題目分析：本題考查平行四邊形的性質和判定，對于這道題的證明比較容易，這里就不詳談了.這道題可以通過改變E，F的位置進行變式，從而引發學生思考.

2.追問引發新思考

教師追問：請大家判斷四邊形AECF的形狀.

學生：平行四邊形（回答并證明）.

教師：對于這一題，大家發現點E和點F是比較特殊的：E，F分別是ABCD的邊BC，AD上的中點.那么，同學能否變動E，F的位置，使得四邊形AECF仍然是平行四邊形呢？（引導學生層層遞進，逐步思考，一共衍生出了如圖所示的幾種情形）

學生1：如圖2，點E，F分別在邊BC，AD上，且BE=DF.

學生2：如圖3，點E，F分別是∠BAD，∠BCD的平分線與ABCD的邊的交點.

學生3：如圖4，AE⊥BC于點E，CF⊥AD于點F.

學生4：如圖5、圖6，點E，F分別在對邊的延長線上，滿足：BE=DF.

3.層層推進，思維再度提升

教師：在上面的問題中，點E，F在平行四邊形的對邊上，能否將之移到對角線上呢？如圖7，連接ABCD的對角線BD，我們在BD上取兩點E，F，連接AE，CE，AF，CF.當點E，F滿足什么樣的特殊位置，使得四邊形AECF是平行四邊形呢？

受前面的啟發，學生層層遞進，逐步思考，又一共衍生出了如圖所示的幾種情形.

學生1：如圖7，AE，CF分別是∠BAD，∠BCD的平分線.

學生2：如圖7，當∠DAF=∠BCE.

學生3：如圖7，AE∥CF.

學生4：如圖7，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F.

學生5：如圖8，E，F在線段BD兩端的延長線上，且BE=DF.

以上這些學生的猜想都是正確的，也有一些學生提出的是命題不正確的，例如，圖7中，AE=CF.通過學生命題，然后學生質疑，這也是一種非常好的教學手段.對于圖8，還有學生提出更多的猜想，例如：AE∥CF，也可使得四邊形AECF是平行四邊形.

以上這些變式題目的產生，實際上結合了教材和作業本中多道題目.這些變式題使得題目、知識更系統化，能起到舉一反三、觸類旁通的作用，更有利于學生創新意識的培養.

二、高階思維的碰撞，改出經典

1.例題展示

如圖9所示，△ABC中，過點A分別作∠ABC，∠ACB的外角平分線的垂線AD，AE，D，E為垂足.

求證：

（1）ED∥BC;

（2）ED=12（AB+AC+BC）.

題目分析：很明顯，本題有“角平分線+垂線=等腰三角形”的模型，因此，如圖10，分別延長AD和AE與直線BC分別交于點G，H，則△ABG和△ACH都是等腰三角形，由等腰三角形“三線合一”的性質可得DE是△AGH的中位線，故第（1）小題得證.對于第（2）小題，AB=BG，AC=CH，所以AB+AC+BC=GH，由中位線定理即可得證.

2.橫向聯系，引導改編

改編1：

在教學中，我讓學生思考，能否將本題進行改編.由于沒有方向，學生自然不知道如何改編，所以改編本題，要么改編題目，要么改變圖形.于是，我引導學生繼續審題，注意題目中的“兩外角”的平分線，一學生隨口提出，把“兩外角”改成“兩內角”，就在他這一聲提示下，學生紛紛畫圖，得到如下的圖形（圖11）.

畫好后，有學生提出疑問，原題中的結論還成立嗎？

引導學生分析：方法類似，延長AD和AE，交BC于點G，H，則可證CA=CH，BA=BG，DE是△AHG的中位線，所以結論（1）：ED∥BC.結論（2）變為：DE=12HG=12（BG+CH-BC）=12（AB+AC-BC）.

非常有意義的一個結論，讓學生來改編題目比解題的效果更好，學生更容易找到成就感！

改編2：

教師：兩外角平分線和兩內角平分線已經解決了，同學們就沒有其他的想法嗎？

學生：一內一外的角平分線！

教師：那么一內一外的角平分線的情況下又有什么樣的奇跡誕生呢？請仿照上面的改編完成你們的猜想吧！

類似于上面的探究，如圖12，結論（1）：DE∥BC.

結論（2）：DE=12HG=12（BC+CH-BG）=12（BC+AC-AB）.

以上兩個改編，完全可以當作考試題型出現，也是比較常見的題型.

三、反 思

讓學生來參與題目變式，類似于近期比較火熱的“學生說題”，但又不同于說題，這是所有學生都能參與的正常的教學活動，有利于發展學生的思維高度和廣度，更能培養學生的創新精神.那么，在平時教學中應該注意些什么呢？

1.注重發散思維的訓練

發散性思維的培養是素質教育的核心.培養這種思維能力，有利于提高學生學習的主動性、積極性、求異性、創新性.因此，我在教學中注重加強對學生發散性思維能力的培養，有意識、有步驟地擴大思路，讓學生從多角度思考問題，從而達到訓練和培養學生發散性思維的目的.

2.注重數學基本模型的積累，滲透核心素養

數學模型是數學的一部分，數學模型的類型也有很多，本文所說的模型是指一些基本圖形.例如，片段二中就用到了“角平分線+垂線=等腰三角形”的模型，再如，三角形全等、相似的一些基本模型等.幾何綜合題往往因為圖形結構千變萬化而成為學生的一類難題，但是，如果在解題教學中，教師引導學生將復雜的幾何圖形分解成一個個簡單的基本模型，學生就能快速找到解題的突破口.例如，在片段二中，學生能捕捉到“角平分線以及角平分線的垂線”這一信息，那么可以快速找到本題的解決方法.

3.引導學生做一個喜歡研究題目，善于總結的學生

在日常的解題教學中，我們要選取一些經典的試題作為素材，通過弱化或者強化題目條件、改變圖形、聯想等方式，巧妙地產生新問題.教師只有在課堂上善于發現新問題，善于思考題目，善于改編題目，才能引導學生，并激發學生的積極性，從而讓學生的思維活躍起來，使學生獲得學習數學的成就感！

【參考文獻】

[1]邵子軒. 例談解題教學中的模型延伸[J].中學數學教學參考（上旬），2019（08）：36-39.