函數思維在中學數學解題中的應用研究

■甘肅省張掖市山丹縣南關學校 童繼紅

一、函數思維的概述

（一）函數思維的定義

首先，函數思維作為一種幾個變量之間相互聯系的形式，其本質在于數學理論體系當中的變化。這一概念不僅讓數學這一學科從簡單的理論架構變成了一種運動的思維模式，同時也提出了一個全新的理念叫作轉化。這一理念不僅是中學數學最為核心的內容，也是學生掌握數學體系，為后續高中數學打下良好基礎的關鍵內容。在眾多的現代著作中，對于函數思維的定義說法不一，有些人對函數思維的理解是數學對象和其性質之間的相互關聯，還有人將函數思維理解成在認知數學規律完善數學知識體系的過程中其本身形成的一種數學的邏輯思維方式。在解決數學問題的過程中，充分利用函數思維是解決部分數學問題的基礎。

（二）函數思維的特征

從客觀的角度來講，函數思維可以歸納為辯證思維的一種形式，在數學體系當中想要通過多角度對解題方法進行梳理和轉化，就需要辯證地去看待數學問題，并讓學生掌握相應的解題技巧，利用動態思維理解中學數學的知識內容。在我國新課標的要求下不僅需要教師著重培養中學生的數學解題技巧，更需要讓學生能夠掌握相應的數學思維模式，提高學生鉆研數學問題、解決數學問題的能力，學會用辯證的角度去看待數學，靈活地運用函數知識和技巧。對于中學數學而言，數學的教學內容具有明顯的遞進性，同時各章節知識結構之間也存在嚴謹的邏輯性。為了讓學生能夠更好地掌握函數思維，就需要針對數形結合和轉換這兩個概念加強普及，確保學生能夠將代數和幾何知識進行高效結合，從而獲取更加高效且多元化的解題思路。

二、函數思維在中學數學解題中的應用策略

首先，函數思維在中學數學解題中的應用，需要讓學生能夠明確初中階段的數學問題在利用函數思維解題的過程中，需要掌握相應的等式、方程、排列組合以及數列和極限等元素的應用。并通過相應的解題技巧如配方法、換元法解方程和不等式，在此過程中針對一次函數、二次函數需要學生能夠充分認知數形結合、分類討論、等價交換等函數思維的運用渠道和方式。本文將結合例題進行函數思維的解析，確保學生能夠理解，在解決數學問題時要根據相應條件，建立相應的函數關系并通過轉化的思維求解。

通常來講，在一個變化過程中如果有兩個變量分別為x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數。而形如y=kx+b(k，b是常數，k≠0)的函數叫做一次函數。當b=0時，y=kx+b即y=kx，是正比例函數。所以說正比例函數是一種特殊的一次函數。

例1：已知y與x+3成正比例，且x=1時，y=9。

①求y與x之間的函數表達式。

②若點（a，3）在函數圖像上，求a的值。

分析：因為y與x+3成正比例，可設y=k（x+3），把x=1，y=9代入解得k的值，即可求得y與x之間的函數表達式，表達式求出，把點（a，3）代入表達式，可求出a。

解：①設y=k（x+3），把x=1，y=9代入得

以上，就是正比例函數在求解過程中，使用的代入法函數思維，通過帶入求解的方式來表述函數表達式。

例2：已知y-1與x成正比例，當x=-2時，y=4。

①求y與x之間的函數表達式；

②當x=3時，y的值是多少？

③當y=-4時，x的值是多少？

解析同上。

解：①由題意可設y-1=kx，把x=-2，y=4代入得4-1=-2k，解的

在解決此類問題的過程中，教師需要著重向學生強調二次函數解析式以及自變量取值范圍的關系，并著重向學生概述圖像拋物線在解題中的運用通過針對拋物線和坐標系焦點的關系。讓其能夠利用開口方向解決相應問題，當學生能夠熟練掌握二次函數的拋物線位置時，就能夠靈活運用各個點與點之間的位置并進行求解。

例3：若關于x的函數y=（m+2）x（|m|-1）+n+5是正比例函數，求m+n得值。

分析：正比例的函數表達式為y=kx，自變量的系數不能為0且自變量的次數為1，所以有m+2≠0且

|m|-1=1；

因為成正比例，所以常數項應為0，所以n+5=0；

解：由題意得|m|-1=1且m+2≠0，

解得m=2；

又n+5=0，所以n=-5；

所以m+n=2-5=-3。

在解決上述問題的過程中，教師需要著重向學生強調正比例函數與反比例函數之間的關系，并通過分享正比例函數與反比例函數對照表的方式，讓學生能夠了解其函數關系和圖像之間的關聯。并將直線、雙曲線，經過原點和與坐標軸沒有交點這兩個特性進行掌握，并充分結合函數思維，讓學生根據不同的函數形式幫助其在解決問題的過程中，對圖像位置以及函數性質進行概括，提高其解題正確率。

三、結語

綜上所述，相比傳統數學教學方式更加重視理論知識以及解題方法而言，注重函數思維在數學解題過程中的應用，不僅能夠讓學生更加靈活地消化教材知識，同時還能夠讓學生自發從多個視角對題目內容進行分析，并且將數形結合帶入轉化等思維靈活運用在實際生活當中，對于提高學生數學解題能力和核心素養有著極其重要的作用。