數形結合思想在初中數學教學中的應用與實踐

■濟南市萊蕪區汶源學校 朱振利

當前，在素質教育改革的背景下，課堂教學愈來愈關注學生學科的思維品質和綜合素養，新課程標準也對學生發展提出了一系列新的要求，因此，只看重分數的時代已經結束，傳統的教學模式顯然已不能夠滿足學生的發展需要。教師需要及時轉變教學觀念，結合數學學科的特點，將數字與圖形巧妙地結合到一起，幫助學生克服理解障礙，并引發其學習興趣，并在這過程中增強學生數學思維能力，實現學生綜合素養的提升。

一、數形結合思想在幾何圖形中的應用

幾何圖形是數學學科的重要內容，與小學數學相比，初中幾何的知識難度和深度都有所提升，尤其在計算方面，對學生的運算技能提出了更高的要求。從當前教學現狀來看，求解幾何圖形某一邊的長度或周長面積是常見的題型，也是學生出錯最多的地方。基于此，教師在幾何教學中不僅要培養學生基本的抽象理解與看圖、識圖能力，還需要與代數運算相結合，應用數形結合的思想，引導學生將看圖與讀數、取數、代數求解相結合，利用數量關系去研究幾何圖形的結構與性質，以此實現“以數助形”，或根據幾何圖形去解析數量關系，實現“以形助數”，促進學生空間幾何思維的發展。

例如，在教學“30°、45°、60°角的三角函數值”這一課時，教師可以通過多媒體為學生展示不同角度大小的三角形圖片，并提問學生“這些三角形為什么形狀不同呢？”學生進行積極的討論與思考，有的回答是因為三條邊的長度和位置發生了變化，也有的回答是因為各個角度發生了變化。總之，學生對導致三角形幾何形狀發生變化的數據產生了好奇，緊接著，教師可以利用學生的好奇心，合理滲透數形結合思想，讓學生用自己的支持和量角器測量這些三角形的邊長與角度，并進行對比，通過分析具體的幾組數據去掌握三角形變化的原因。最后，學生通過實踐得出了三個角角度不同是導致三角形形狀變化的主要原因。教師隨后列舉出30°、45°、60°的直角三角形，讓學生自己測量各邊長代入三角函數值的公式當中進行計算，并設置基于三角函數值，看數據求角度、看角度求邊長的計算題，讓學生利用數形結合的思想去解決問題。

二、數形結合思想在求解方程中的應用

方程一直是數學的核心內容，與小學相比，初中數學方程的形式更加多變，且與圖像結合共同出現的概率較高。尤其是二元一次方程，面對單一抽象的字母、數字與符號組成的式子，學生理解起來有一定的難度，且形式過于單調，難以調動學生的興趣。因此，教師在教學方程時可以滲透數形結合的思想，讓學生聯系具體圖像解方程式，以此化抽象為具體，化復雜為簡單，這樣既能夠幫助學生建立自信心，又能大大提升方程教學效率。

三、數形結合思想在解不等式中的應用

不等式求解是不少學生的“頭疼之處”，因為其不僅涉及方程與函數的知識，還考查學生的做題細心程度，如不等號兩邊同時乘以或除以負數時，不等號要發生變化，一個數由不等號的一邊換到另一邊時，要變為原來的負數等，而這些是學生在日常解題中常出錯的地方。教師在實際教學中可以引入數軸，讓學生在數形結合的思想下通過分析數軸上的點和點所代表的數值去理解不等式的概念與意義，以此更加直觀、形象地求出解集部分。

以題目“求出x2-4≤0與x＞-1、x＜2這三個不等式的解集”為例，若只是單純地觀察這幾個不等式，學生難以快速、準確地說出最后的答案，并容易出現錯誤，因此，教師可引出數軸，讓學生首先求出第一個不等式x的范圍，即-2≤x≤2，將其標注在數軸上，并用實心表示等于號。緊接著，繼續將另外兩個不等式代表的x范圍標注在數軸上，并用空心點標注出大于與小于的邊界。最后，在學生全部畫完之后，教師帶領學生觀察數軸，發現共同部分是“-1＜x＜2”，在數形結合的思想下，學生利用數軸將抽象的不等式化為形象直觀的圖像，明顯提升了解題速度，并保證了答案的準確性。

四、數形結合思想在函數問題中的應用

初中數學在教學函數時，圖像是重點內容之一，因此，教學函數問題是教師滲透數形結合思想的主要途徑之一。在初中階段，函數主要由一元一次函數、一元二次函數和反比例函數，并且以求解x的解的情況和范圍為基本的考察方式，教師一方面可以通過借助圖像幫助學生對比這幾類主要函數，以掌握基本的函數變化規律，另一方面可以借助畫圖像觀察x解的情況，以此作為函數問題的檢驗方式。

如題：一靠墻矩形花壇，設寬為x米，靠墻的一邊為長，籬笆共計40米，基于學校的要求，籬笆的寬度只能在4米和7米之間，設面積為y，求y的最值。通過分析這一題目，學生首先寫出函數表達式：y=x·（40-2x），其中x的范圍為（4，7），教師帶領學生畫出函數的圖像，并取x取值區間的臨界值，通過觀察取到的一段圖像，學生能夠快速找到最大值，從而確定y取最值對應的x數值。通過這樣，在數形結合思想的指導下，學生成功解決了函數的最值問題，并借助圖像直觀地了解到y與x之間的變化關系，這對其加深概念理解也有一定的幫助。

五、結語

綜上所述，初中數學教學中培養學生思維品質能夠為其日后的深入學習打下堅實的基礎，并促進核心素養的形成。在實際教學中，數形結合思想在數學學科中的應用十分普遍，且對學生理解知識概念、構建知識體系發揮著重要的作用。教師在教學當中，要從多方面挖掘數形結合的作用，在問題分析與解決過程中增強學生的邏輯思維能力，提升其數學綜合素養，提高初中數學整體教學質量。