數學物理方法與理論物理專業課程的融合銜接性研究

[摘 要]數學物理方法是高校理工科專業的一門專業必修課，對學生后續理論和專業課程的學習以及創新思維和應用能力的培養都具有非常重要的作用。文章重點研究數學物理方法與后續理論物理專業課程之間的融合銜接，為適應新時期的教學特點和要求，不斷提高課程的教學質量和效果，提出了一些數學物理方法教學改革的建議。

[關鍵詞]數學物理方法;理論物理;專業課程;融合銜接

[基金項目]2020年中山大學校級本科教學質量類工程項目“數學物理方法和專業課程的銜接研究”（76180-31911131）

[作者簡介]余招賢（1964—），男，湖北黃岡人，凝聚態物理博士，中山大學材料學院副教授，主要從事大學基礎物理和數學的教學工作。

[中圖分類號] G642.0[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）46-0-03[收稿日期] 2020-08-27

數學物理方法是高等院校理工科普遍開設的一門專業必修課，它既是高等數學、線性代數等基礎數學課程的延續，又是在普通物理基礎上進一步學習理論物理和高級專業課程的前提和準備，在大學基礎和專業課程中起到承前啟后的融合銜接作用。數學物理方法顧名思義是數學和物理的融合，是連通基礎和專業的橋梁，是在專業學習中解決和探索各種科學問題的知識庫，所以數學物理方法的教學目標就是要重點介紹物理學中常用的數學方法[1，2]，包括如何把各種現實的物理問題轉換成數學物理方程的定解問題，掌握求解這些定解問題的基本方法和技巧。通過數學物理方法的學習不僅要為學生學習后續專業課程提供足夠的數學儲備，更重要的是培養學生綜合運用數學和物理思想解決實際問題的能力，長遠目標則是開拓創新思維的培養和高端創新人才的培育。

數學物理方法的中心主題是數學和物理，如何處理好數學和物理的關系，始終是一個關鍵中的關鍵問題。雖然數學物理方法的著力點看似在數學，但它與理論物理學的四大力學和許多進階專業課程息息相關，凸顯其在理論物理和專業課程中的基礎地位。只有學好數學物理方法，學生在四大力學和專業課程的學習中才能夠聚焦物理，得心應手，事半功倍，否則將舉步維艱，難以順利完成四大力學和其他高級專業課程的學習任務。另外，數學物理方法尤其是數學物理方程在培養學生的數學運算能力、理論分析能力和創新思維能力方面具有至關重要的作用，所以說數學物理方法的教學效果直接關系能否培養出高質量的大學生和創新人才。由于數學物理方法的課程特點，它既與大量物理問題密切相關，同時又涉及廣泛的數學知識，加之教學時數限制，導致本課程被大家公認為大學本科階段教和學難度最高的課程之一。同時我們也要看到，在長期形成的數學物理方法教學中還存在一些突出問題，例如教學內容多而繁雜，部分內容有點過時，與現今的理論和專業課程體系脫節，導致內容與學時沖突;教學模式比較單一，教學方法比較陳舊，學生普遍畏難，教學效果欠佳[3，4]。如何改革這門難教難學的課程，如何使數學物理方法與后續課程更好地銜接，如何使教學內容更加適應現代化專業人才培養的需要，我們結合物理和材料專業的特點，針對教學實踐中出現的上述問題，對數學物理方法課程的教學內容與教學方法進行了實踐和探索。

一、數學與物理的關系

對材料和物理專業來說，數學物理方法決不能簡單當作一門數學課程進行教學，因為它不僅是數學課程，更應該看作是數學物理交叉課程。在組織數學物理方法教學時，可以首先確定兩條平行主線。第一條是物理的主線，就是把物理分析始終滲透到課程的各個教學環節中。作為具有物理背景的教師，在進行數學物理方法的教學過程中，切忌花費太多時間和精力在數學公式證明和運算之上，應該更多地強調和挖掘課程的物理內涵，充分考慮材料和物理專業的培養目標和課程設置，在確保數學知識完整性和準確性的基礎上，加強對運用數學知識處理實際問題的物理背景的闡述，側重物理思想和數學方法之間的有效融合，強調最終得到問題解和結論的物理意義。另外一條教學主線，可以考慮以本征值本征函數為核心進行課程串聯，因為本征值本征函數和函數按本征函數展開的思想在數學物理方程中有著廣泛的應用。例如求解數學物理方程定解問題的主要方法是分離變量法，而分離變量法的核心思想就是求解本征值，在不同的坐標系中有完全不同的本征值問題，得到的本征函數包括三角函數、勒讓德函數、貝塞爾函數、球函數等，這些本征函數具有正交性、完備性和歸一性。在此基礎上對各種數理方程定解問題的求解都變成順理成章的事情了，只要熟練掌握本征值本征函數以及函數按本征函數展開這些知識點，對于學好用好數學物理方程解決各種物理問題都有巨大的幫助，這樣我們的教學內容和方法不僅有清晰的主線，而且符合物理和數學彼此相長的融合關系。

在確定教學主線的前提下，對于具體教學內容的增減，都要以處理好數學和物理的關系為原則。例如在介紹解析函數的時候，除了因為它在復變函數中的核心地位之外，還要特別強調它在表達無源無旋平面場的特殊優勢，使其能夠簡單高效地處理電磁學、流體力學等相關平面場問題。在介紹復變函數留數定理時，不僅要闡明它在復變函數積分和廣義積分計算中的重要作用，更要突出它能夠解決這些反常積分大多來源于物理各學科，對它們的定量和解析計算非常有益于理論分析和研究。數學物理方程就是物理規律的數學表達，它往往反映的是此點此時刻的物理量與其臨近點和臨近時刻物理量之間的聯系，在數學上體現出來的就是微分或偏微分方程，這些方程能夠描述一大類廣泛物理現象的共性。在教學中重點介紹波動方程、輸運方程和穩定場方程三大類經典數學物理方程。這里首先要使學生明白為什么要學習這三類方程，在推導這些方程時不必強調數學建模方法，必須要強調的是隱藏在方程后面的物理背景和物理規律，為了簡化問題的復雜性而忽略了哪些次要的因素，從而得到了簡單而又不失代表性的方程。例如張緊的一維均勻柔軟弦的橫向振動，一維均勻彈性桿的縱向振動都滿足一維波動方程，二維均勻薄膜的自由橫向振動則滿足二維波動方程，聲波和水波同樣滿足三維波動方程。根據麥克斯韋電磁理論，真空或介質中變化的電場和磁場可以相互激發，自然形成由波源向外傳播的電磁波，它們當然也滿足三維波動方程。所以說波動方程描述了大量的物理現象，本質上都是表示物理量的振動狀態的傳播，這些物理現象和過程都有一定的共性，滿足相同形式的波動方程，所以在數學物理方程中介紹波動方程及其解法具有非常重要的理論和現實意義。在教學中我們一定要講清楚數學和物理的關系，使學生明白這里的數學源自物理問題，是為解決物理問題而引進的，是物理中的數學。

二、與專業課程的關系

數學物理方法作為數學聯系物理、材料、工程和技術等學科的橋梁，不僅是理工科學生進一步學習各種專業課程的必備基礎，也是培養學生運用數學和物理知識解決實際問題關鍵能力的重要途徑。數學物理方法既涉及大學初級課程，如高等數學和普通物理，又與后續高級課程理論物理四大力學等密切相關，對這門課程的學習效果如何，將直接影響到理論物理和專業課程的學習能否順利完成，也關系到學生運用理論知識定量分析和解決問題的能力培養。

首先，數學物理方法是普通物理和四大力學的黏合劑。普通物理的力學、熱學、電磁學、原子物理升級到理論力學（分析力學）、熱力學和統計物理、電動力學和量子力學，不僅是物理規律的總結和提高，更多表現出來的是數學工具的升級。簡單統計一下就可以看到四大力學的數學清單：調和函數、級數展開、廣義積分、留數定理、數理方程、分離變量法、格林函數法、正交曲線坐標系、泛函與變分、傅里葉變換、拉普拉斯變換、δ函數、特殊函數等。這些在四大力學中頻頻出現的數學知識必須作為數學物理方法的核心內容保留，它們是理論物理課程的數學基礎和必要工具。

其次，除了四大力學之外，還要處理好數學物理方法與后續專業課程之間的關系，以更全面更專業的視角處理教學內容，需要了解本專業后續課程的數學使用情況，根據后續專業課程的特點適當補充和刪減教學內容是極其重要的。把數學物理方法中的知識與其他課程的內容緊密聯系起來，針對學生們不明白這些數學知識與物理有哪些關系的困惑，我們在對物理學和材料專業的學生授課中講到解析函數中的實部和虛部可以代表物理中的平面場，介紹拉普拉斯方程和泊松方程時，強調它們可以用來描述電動力學中的靜電場和靜磁場問題，這些方程可用分離變量法、格林函數法、電象法對其進行求解和研究。在介紹輸運方程時，指明它不僅能夠描述物質和熱量的擴散，而且由于擴散方程的形式和量子力學的薛定諤方程很相似，所以它的解法同樣可以推廣至量子力學方程的求解。這樣學生們清楚地認識到，這不只是一門單純的數學課程，以后他們有能力也有必要把數學物理方法中學到的知識應用到其他課程的學習當中，順利完成大學階段的學習任務就有了堅實基礎。

三、與高等數學的關系

學習數學物理方法對高等數學知識有著較高的要求，首先檢驗的就是學生的高等數學基礎是否全面和扎實，對于基礎薄弱的部分應該補充和加強，特別是那些因為各種原因被淡化甚至忽略的知識，在數學物理方法的學習中可能是必不可少的重要工具。例如傅里葉級數在高等數學中可能只是簡單提及，但在分離變量法求解數學物理方程的定解問題時，由于本征函數往往是三角函數，根據定解條件定解時，需要將函數按本征函數展開為無窮級數，即標準傅里葉級數。即使本征函數不是三角函數，而是勒讓德函數、貝塞爾函數之類的其他函數，這種函數按本征函數展開的方法仍然適用，這時可稱為廣義傅里葉級數，所以傅里葉級數所對應的三角函數系是更廣泛的本征函數系的一個特例，它們都具有本征函數的正交歸一和完備性，從這個角度理解和加強學生對傅里葉級數的認識和應用是非常必要的。另外為了得到本征值和本征函數，求解本征值問題是關鍵，其核心就是求解常（變）系數微分方程，所以不僅要對高數中未能重視的常系數微分方程求解復習和鞏固，還要對一些特殊變系數微分方程的解法予以特別重視，例如勒讓德方程、貝塞爾方程和歐拉方程等。另外還可以補充一些非齊次微分方程的解法和應用。通過對上述高數知識點的補充和加強，可以使學生在學習數學物理方程的過程中克服學習恐懼，事倍功半，盡快地進入到數學物理方法的正常學習狀態。

四、與多媒體教學的關系

數學物理方法是一門難度較高的專業課程，因其公式繁多，計算復雜，內容廣泛，抽象晦澀，學生怕學，教師難教，對教和學都是一個挑戰。在傳統教學方法中一般采用教師板書為主，學生記錄筆記以備課后之需。這種教學方式有其優勢，教師能夠突出重點，學生有足夠的時間消化課堂內容，當然缺點也是明顯的，就是課堂效率不高，課程進度緩慢，在理論課時普遍壓縮的大環境下，矛盾尤其突出。隨著計算機和互聯網技術的普及應用，多媒體教學已經成為新的潮流，它具有信息豐富，圖文并茂，互動性強等優點，大大提高教學效率，為課堂教學改革開辟了新的路徑，理所當然地受到越來越多老師和學生的歡迎。不過我們也要清醒地認識到，多媒體教學有利有弊，特別是在數學物理方法的教學過程中如何適度使用多媒體，是一個值得認真探討和實踐的問題。

首先，需要研究在數學物理方法中哪些特定內容適合多媒體教學，才能達到理想的學習效果。具體考慮就是把數學軟件Matlab，Mathcad等引入教學，可以將課程中一些抽象的理論結果和復雜公式等借助數值和圖形演示出來。例如分離變量法得到的解析解，一般都是非常復雜的無窮級數，很難直接看清它的變化趨勢和物理意義，如果通過數值計算和圖形技術把結果直觀地演示，不僅能夠幫助學生理解和接受解的物理意義，還有助于引導學生的形象思維和節省板書時間。再如應用分離變量法求解數學物理方程得到的都是解析解，分離變量法適用的情況畢竟是有限的，更多的情況是我們無法得到解析解。這時候我們還可以利用數學軟件自帶的強大計算功能，只要輸入方程和定解條件，就可以快速得到數學物理方程的近似解，并且在屏幕上把解的圖像直接呈現，使學生了解解析解和近似解的區別和用途。

其次，考慮到本課程注重培養學生邏輯推理能力和分析問題的能力，所以對一些重點和難點內容，還是要結合較多的板書推算，否則教學效果是不理想的。多媒體教學的最大短板就是學生在課堂上接收信息太多太快，記憶和理解時間太短，思維無法跟上課堂節奏，課后也不能很好地消化吸收，使多媒體教學的效果大打折扣。為了克服多媒體教學的不足，板書在數學物理方法課堂上仍然不能缺席，教師在使用多媒體教學時，同步配合板書講解重點和難點，強化學生對重點內容的理解與掌握還是非常必要的。

五、結論

本文重點討論了數學物理方法教學中的幾個熱點問題，包括數學和物理的關系，數學物理方法與理論物理、高等數學、其他專業課程的銜接。通過多學期理論物理和數學物理方法的教學實踐，初步確定一套符合現代科學技術人才培養的專業需要，滿足后續理論物理和專業課程的數學需求，與現時的教學時數相適應的教學方案。同時引進數學軟件和多媒體技術制作部分內容課件和演示，結合傳統板書講解重點難點，以期達到良好的教學效果和效率。

參考文獻

[1]梁昆淼.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]周明儒.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]喻遠琴，陳壽萬.新形勢下數學物理方法教學模式改革探索[J].合肥工業大學學報（社會科學版），2013，27（05）：129-132.

[4]趙佩，王曉輝，金康，等.物理學基地班“數學物理方法”課程教學改革探索[J].高等理科教育，2014（03）：107-113.

Abstract： Methods of Mathematical Physics is a required course for science and engineering majors in colleges and universities， which plays an important role in the study of students' subsequent theoretical and professional courses， as well as the cultivation of innovative thinking and application ability. This paper focuses on the integration and connection of Methods of Mathematical Physics and subsequent theoretical physics courses. In order to adapt to the teaching features and requirements of the new era and constantly improve the teaching quality and effect， this paper proposes some ideas and suggestions on the teaching reform of the course of Methods of Mathematical Physics.

Key words： Methods of Mathematical Physics; theoretical physics; professional courses; integration and connection