高等數學教學過程中數值計算的引介
——以積分為例

任澤民 李慶玉 黎 彬

（重慶科技學院數理與大數據學院 重慶 401331）

一、現狀分析

高等數學是各理工和財經專業必修的公共基礎課，在學生培養中具有重要地位。如何教好高等數學成為許多高校急需解決的難題。目前，教學現狀主要有：1.學生學習積極性不高，基本理論掌握不扎實；2.數據表明，高等數學考試卷面成績不及格率居高不下；3.學生不能運用高等數學解決實際問題。本文擬從第三點出發，探索高等數學的教學改革，主要措施是教學中融入數值計算思想。數值計算是計算數學和大數據技術的重要工具[1]。當今，大部分高校開展的高等數學是按照傳統的課程體系進行授課的。我們在傳統體系的基礎上，將數值分析的一些基本知識作為學生的拓展訓練材料，引導學生去思考。筆者擬以定積分為例開展教學探索。

二、實例分析：定積分與數值積分

定積分是高等數學課程中重要的基本概念[2]，在實際中具有重要的價值。在劃分、求和、取極限等過程后，定積分可以表示為。定積分的計算方法有很多種，主要包括定義方法、換元方法和分部積分方法。積分中值定理是這些方法的理論基礎。具體內容為：如果函數在區間[a，b]上連續，則在該區間上至少存在一點使得。此理論無論在高等數學還是在數值分析課程中都具有重要的地位。在高等數學課程中，定積分的計算主要基于牛頓—萊布尼茨方法。該方法需要找到被積函數的原函數。這一點在實際問題求解過程中是十分困難的，原因主要有：1.被積函數的原函數不能利用初等函數進行表達；2.通過傳統方法計算出的原函數表達形式復雜，難于計算。在這種情況，我們應該考慮數值方法進行求解相應的定積分。

接下來，我們擬從積分中值定理出發，引導學生開展若干簡單的定積分數值計算公式。在高等數學課程中，積分中值定理告訴我們：定積分的值可以由區間的長度和函數在該區間上某一點函數值乘積來表示。但該定理未告訴學生是何點處的函數值。根據定積分的幾何意義，在損失一定誤差的情況下，數值上該點選擇是多樣的，可供選擇的方案有：1.區間中點對應的函數值；2.區間兩個端點函數值的平均值；3.區間的左端點或右端點對應的函數值，從而形成如下的各種定積分的近似計算公式：1）中矩形公式；2）中矩形公式；3）左矩形公式；4）右矩形公式。四個定積分的數值公式是數值分析課程關于定積分求解的帶有誤差的經典近似公式，其相應的誤差可由高等數學的泰勒公式進行估計。學生可根據自己的實際情況開展相關的拓展訓練。

三、結束語

通過本文的探索，學生可以提高對高等數學基本理論知識的理解，還可以增強自己在數值計算方面的意識。這方面的研究，不僅對本科階段的學生有益，還對數學功底較差的研究生也有很大的幫助，幫助其完成學術研究中遇到的數學問題。