在提煉中追尋知識的深刻
——《立體圖形的體積復習》教學實踐與反思

陳繼輝

【教學內(nèi)容】

浙教版六年級《立體圖形的體積復習》。

【教學過程】

一、注重激活，在現(xiàn)實情境中重溫“知識點”

1.復習引入，喚醒經(jīng)驗。

師：（出示圖片）同學們，在這幅積木圖中，你認識哪些圖形？

生：長方體、立方體、圓柱、圓錐。

師：你會計算它們的體積嗎？

生：V長=abh，V立=a3，V圓柱=。

生：長方體與圓柱的體積可以用底面積乘高來算。

2.自主整理，回顧推導。

師：它們的體積是怎么推導出來的呢？

生：長方體的體積可以通過底面積乘高來算，因為底面積就是底面所能擺單位小立方體的個數(shù)，高就是擺的層數(shù)，所以底面積乘高就是單位小立方體的總個數(shù)，個數(shù)多少，體積就是多少。

生：通過轉化法，把圓柱轉化成一個長方體來計算。

生：通過實驗法，把圓錐裝滿水倒入同底等高的圓柱中，正好倒了三次。（電腦動畫演示）

二、注重梳理，在討論探究中完善“知識鏈”

1.全班討論，溝通聯(lián)系。

（1）平移。

師：同學們，有沒有想過這些立體圖形可以通過怎樣的變換方式來形成呢？

生：一個長方形向上平移一定的距離，平移走過的軌跡可看成一個長方體。（學生拿著一張A4紙面向全班同學進行演示）

生：一個圓向上平移，它平移走過的軌跡可以看成一個圓柱。

師：垂直平移的距離是立體圖形的什么？

生：高。

師：平移的圖形就是立體圖形的什么？

生：底。

（2）旋轉。

師：圓錐可以通過平移這種變換方式來形成嗎？

生：不可以。它是通過一個直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉一周形成的。

師：還有其他的立體圖形，也是通過旋轉形成的嗎？

生：圓柱通過一個長方形，以長或寬為軸，旋轉一周形成。

生：如果以長為軸旋轉，長就是形成圓柱的高，寬就是圓柱的底面半徑。

（3）分類。

師：你能不能把這些圖形按照形成方式的不同來分類呢？

（學生自主思考后，在黑板上畫出韋恩圖）

師：哪個圖形最特別？

生：圓柱。它既可以通過長方形繞著長或者寬其中一條邊旋轉360度得到，又可以通過一個圓垂直平移，平移走過的軌跡就是圓柱。

2.分層練習，深化拓展。

（1）基礎練習。

①半徑為1厘米的圓，向上平移5厘米，形成的圖形的體積是（ ）。

②一個長方形長6分米、寬2分米。繞著它的長旋轉一周，形成一個圓柱體，那么這個圓柱體的體積是（ ）。

③一個直角三角形的兩條直角邊長3厘米和4厘米。以3厘米長的直角邊為軸，將直角三角形旋轉一周，所得圖形的體積是（ ）立方厘米。

（2）提升練習。

下圖直角梯形ABCD，以CD邊為軸并將梯形繞這個軸旋轉一周，得到一個旋轉體。它的體積是多少立方厘米？

三、注重提煉，在類比遷移中清晰“知識源”

1.小組交流，提煉共性。

師：（指著長正方體、圓柱）這些立體圖形可以通過平移這樣的變換方式形成，那還有沒有其他圖形也是這樣形成的呢？（學生先說，教師后出示三棱柱）

師：三棱柱是怎么形成的？

生：我認為可以看作一個三角形向上平移所形成的，三角形就是形成立體圖形的底，向上平移的距離就是立體圖形的高。

師：它的體積可以用之前的計算公式來算嗎？（小組討論后，派代表匯報）

生：用底面積乘高來計算。

生：因為它們都是通過平面圖形垂直平移形成的。

生：底面積就是一層所能擺的單位小立方體的個數(shù)，高就是擺的層數(shù)。

師：如果三邊形變成五邊形，接著變成32邊形，體積怎么算？

生：還是底乘高。

師：像這種立體圖形，我們把它叫做柱體。（板書：柱體）

2.類比遷移，發(fā)散極限。

師：隨著底面越來越大，變成了什么？

生：圓柱。

師：柱體有相同的計算方法，那么像圓錐這樣的錐體是不是也有相同的計算方法呢？

生：有。

師：以四棱錐為例，猜猜它的體積是怎么推導的呢？

生：可以借助等底等高的長方體，通過倒水實驗。

師：你是怎么想出來的？

生：推導圓錐體積時，我們借助了等底等高的圓柱，這里與四棱錐比較接近的是長方體。

師：原來知識之間是有聯(lián)系的。我們要用聯(lián)系的眼光去看待問題。建議把掌聲送給他。

（電腦實驗演示）

師：四棱錐到五棱錐呢？體積可以怎么算？

生：還是底面積乘高除以3。

師：100棱錐呢？慢慢邊數(shù)多起來，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：變成了圓錐。

四、注重應用，在解決問題中感悟“知識價值”

1.深刻理解“底”。

師：大正方形的邊長是5厘米，小正方形的邊長是3厘米，求陰影部分的面積。

生：大正方形的面積減去小正方形的面積就是陰影部分的面積。

師：如果把陰影部分向上平移6厘米，那么走過的軌跡所形成的立體圖形的體積是多少呢？

師：如果想出了一種方法，看看還有沒有別的方法。

生：陰影部分體積可以通過大長方體的體積減去小長方體的體積來計算。

生：底面積乘高。底是剛才前面求的陰影部分，高就是平移的距離6厘米。

生：我們可以算出底面可以放16個單位小立方體，總共可以放6層。所以體積等于96平方厘米。

師：底能不能是右邊的長方形，高是5厘米，為什么？

生：不能，因為右邊的長方形往左平移的過程中，中間有空白部分，不能使得每個面的面積一樣大，所以不能成為底。

生：平移過程中，每個面的面積一樣大就可以成為底。

2.透過現(xiàn)象，抓住本質。

師：如果把空白部分移到大長方體的這個位置，體積現(xiàn)在是多少？

生：體積不變，因為底面積大小還是大正方形面積減去小正方形面積，高也不變。

師：現(xiàn)在呢？

生：還是一樣，高沒變，雖然底面形狀變了，但大小不變，所以體積不變。

師：是??！我們要試著學會透過現(xiàn)象，抓住本質，在變化中尋找不變的規(guī)律。

【教學反思】

復習課不是簡單的重復，而應引導學生厘清知識間的聯(lián)系，構建知識體系，做到“豎成線、橫成片”，使學生更加全面、系統(tǒng)地理解與掌握知識，引導學生獨立思考、自主復習，提高解決問題的能力。《立體圖形的體積復習》這節(jié)課，首先經(jīng)歷復習回顧，進一步理解立體圖形的體積概念，掌握計算方法，會解決一些常規(guī)的問題；接著經(jīng)歷空間想象與動態(tài)演示，從運動變化的角度探索立體圖形之間的相互聯(lián)系，溝通立體圖形體積的計算公式，體會共通之處，加深對立體圖形體積計算方法的理解；最后提煉共性，體會“在變化中尋找不變量的規(guī)律”，滲透聯(lián)系、類比遷移、極限等數(shù)學思想方法。

1.理一理，增加系統(tǒng)性。

本節(jié)課通過學生自主梳理立體圖形體積推導，全班討論、從立體圖形的運動形成著手，打通知識間的聯(lián)系，使學生親身經(jīng)歷、體驗知識的再發(fā)展，積累數(shù)學思維活動經(jīng)驗，實現(xiàn)知識由點到面，增加知識的系統(tǒng)性。

2.練一練，增加靈活性。

通過分層練習，一方面鞏固旋轉、平移兩種立體圖形的形成方式，靈活理解不同圖形下的底與高；另一方面使“不同學生在復習中得到不同的發(fā)展”，讓他們在復習過程中都有新的收獲。

經(jīng)歷“在變化的現(xiàn)象中尋找不變規(guī)律”的過程，通過理解底面積乘高來計算直柱體體積的方法，增加課堂的深度與靈活性。

3.提一提，增加深刻性。

數(shù)學復習課除了學習基礎知識外，還應適當拓展，鼓勵學生自主去發(fā)現(xiàn)問題的實質,找出問題的解決方法。本節(jié)課，通過引導學生發(fā)現(xiàn)直柱體之間、錐體之間具有相同的體積計算方法，深刻理解問題的本質所在，增加課堂的厚度。