如何在綜合與實踐課中培養學生的數學核心素養

仇海佳 田玉龍

摘 要：初中數學綜合與實踐課程緊密聯系生活，綜合實踐性強，為培養學生數學核心素養提供了很好的課程載體，教師可以聚焦綜合實踐課，探索學科核心素養在課堂落地的路徑和方法，循序漸進地發展學生的核心素養。

關鍵詞：綜合與實踐;核心素養;數學建模;邏輯推理

《義務教育數學課程標準》（2011版）中指出，“要重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程?！币虼?，教學中教師注重從現實生活或具體情境出發，引導學生充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析、綜合、概括等過程，把生活中實際問題轉化為數學問題模型，進而求出結果并討論結果的意義。下面以北師大版教材八年級上冊“綜合與實踐”課中的《哪一款手機資費套餐更合適》為例，談談如何培養學生的數學建模意識。

一、模型源于現實生活

教師課前布置了兩個學習任務。

1.了解手機資費的相關術語及手機資費套餐的種類。

2.收集數據：以你爸爸或媽媽的手機為樣本，調查連續五個月以來手機通話時間的情況。

通過調查發現，主要有2種情況：①大多數學生的調查結果是，手機的使用以本地通話為主，故忽略長途主叫情況進行研究;②個別學生的調查結果是，手機的使用以長途通話為主，故忽略長途主叫情況進行研究。

學生通過深入到移動、電信或聯通等營業廳向服務人員了解專業術語、套餐種類以及完成調查所需的數據這一活動，可以豐富數學活動經驗，同時感受數學源于現實生活，為后續的數學建模提供生活原型。

二、模型的建立

教師提出問題：老師新買了一款手機，想為我的手機選一款套餐，移動營業廳現為老師提供了這樣的三種套餐，請你們幫老師選選看，哪一款套餐更合適？（三種手機套餐資費如下表）

學生根據前面的調查，結合表格中不同的套餐內容，通過自主學習、小組探究后，發現主要存在以下三種情況：

1.如果手機的使用以本地通話為主，故忽略長途主叫情況進行研究。設本地通話時間為x分鐘，通話費用為y元，則：

A套餐收費情況：yA=0.2x+10（x≥■，即x≥200）

B套餐收費情況：yB=0.18x（x≥■，即x≥389）

C套餐收費情況：yC=0.15x+6（x≥■，即x≥440）

2.手機的使用以長途通話為主，對每月本地通話費用取平均值代入;如果我們設本地通話平均費用為m元（m是我們假設的一個常量），因為以長途通話為主，所以m較小，設長途通話時間為x分鐘，總通話費用為y元，則：

A套餐收費情況：yA=0.28x+10+40（0≤m≤40）

B套餐收費情況：yB=0.3x+m（m≥60，x≥■，即x≥34）

C套餐收費情況：yC=0.3x+6+m（0≤m≤66，x≥■）

3.關注到月平均通話時間，列表達式展開研究。

比如調查計算出月平均主叫時間為500分鐘，設其中本地主叫時間為x分鐘，則相應的長途主叫時間為（500-x）分鐘，則三種套餐的收費情況如下：

①當x≥200時，yA=0.2x+0.28（500-x）+10，即yA=-0.08x+150

當x<200時，yA=40+0.28（500-x）+10，即yA=-0.28x+190

②當x≥■時，yB=0.18x+0.3（500-x），即yB=-0.12x+150

當x<■時，yB=60+0.3（500-x），即yB=-0.3x+210

③yC=0.15x+0.3（500-x）+6，即yC=0.15x+156

從上面的表達式可以看出，這是一次函數y=kx+b（k，b為常數，且k≠0）的模型問題，這樣就將手機話費的實際問題轉化為一次函數的問題，而對于一次函數的問題，只要確定自變量的值，就可以確定因變量的值。同理，知道自變量的取值范圍，亦可確定因變量的取值范圍。

三、模型的分析與計算

教師通過兩個問題加深學生對一次函數模型的認識。

問題1：所得的函數表達式中的“k”“b”對每月資費有怎樣的影響？問題2：什么情況下選擇A套餐？說說你的理由。什么情況下選擇B套餐呢？C套餐呢？

根據下面圖像可知：

當x≤300時，選擇套餐A最劃算;

當300

當x>400時，選擇套餐C最劃算。

對于一次函數的問題我們可以借助函數圖像來解決問題。利用幾何畫板工具在同一坐標系中繪制函數的圖像，圖像可以幫助我們直觀地分析三種套餐。結合圖像，根據本地通話時間和長途通話時間的多少來選擇不同的套餐。

四、模型的拓展

問題1：生活中有很多與“手機資費”類似的問題情境，其中變量之間的關系可以用一次函數來近似地表述，請你找出一些這樣的問題。問題2：在假期實踐活動中，選一個你感興趣的問題進行分析解決。

學生經過討論，他們認為出租車價與里程數之間的關系、家庭水費與用水量之間的關系、家庭電費與用電量之間的關系、購買商品時的銷售價與商品數量之間的關系等問題都是一次函數模型的問題。再通過假期實踐作業，讓學生體會數學知識來源于現實生活，又服務于現實生活，讓學生在更多的背景問題中感知一次函數模型的應用，以更好地實現由意義理解到自主建構的飛躍，發展學生的應用意識，形成用數學的眼光看待世界。

本節課主要從生活中的問題情景引入，將“哪一款手機套餐資費更合適”的實際問題抽象成一次函數的問題，引導學生建立一次函數模型、分析計算一次函數模型、再將這一模型拓展應用到現實生活中，這樣讓學生經歷運用一次函數的知識和方法分析問題、解決問題的過程，幫助學生進一步體會一次函數的模型思想，理解相關的知識與方法，豐富數學活動經驗，提高建模意識和建模能力。

五、數學核心素養之邏輯推理能力的培養

培養學生邏輯推理能力是提高學生核心素養的重要內容。為此，數學教師應該努力挖掘教材中蘊含的邏輯推理因素，根據中學生思維發展規律展開教學活動，重視培養學生邏輯推理的嚴謹性，讓學生在自主探究過程中不斷提高自己的邏輯推理能力。

如北師大版七年級上冊綜合與實踐課《探尋神奇的幻方》中，本節課的主要目標是要求學生借助字母表示數、探索規律揭示幾種簡單的三階幻方的本質特征及內在聯系。一方面，學生鞏固了有理數加法的法則和運算律;另一方面，學生通過調試數據，發現規律，培養思維的邏輯性。

（一）從特殊到一般的推理

教學中，教師由簡到難地設計了三個活動。

活動一：如圖1，教師給出一個特殊的三階幻方，并連續提出以下四個問題。

①把幻方中的數字按照大小排列順序后，中間位置上的數字是誰？它在幻方中的位置如何？②這個幻方的幻和是多少？幻和與幻方正中間的數字有什么關系？③請仔細觀察這個幻方的數字之間有什么關系？它們能否相互轉化？怎樣轉化？④你能否改變上述幻方中數字的位置，使它們仍然滿足你發現的那些相等關系？

活動一是以問題串的形式幫助學生認識三階幻方，讓學生通過一個特殊的幻方體會滿足幻方的數字所蘊含的內在規律。學生通過獨立思考、組內充分交流后、選代表分析講解，展現他們的思維過程。

第一組的學生代表：我們組發現2和8、4和6、3和7、1和9配對出現在5周圍，此幻方四個角上的數字是偶數，剩下的四個格的數字都是奇數，如果再按照這樣的規律將數字的位置進行變化，依然可以構成幻方。（如圖3）

第二組學生代表：如圖4，由于每列的和，以及每條對角線的和都是15，所以兩條對角線的和與第二列的和相加得45，其中出現3次，第一、三行的數均各出現一次，故：3x+2×15=3×15，從而x=5，后面的思路和前面的同學一致。

第三組學生代表：我們組將這9個數分別為別用a，b，c，d，e，f，g，h，i表示（如圖5），

則（a+e+i）+（b+e+h）+（c+e+g）+（d+e+f）=15×4，

即（a+b+c+d+e+f+g+h+i）+3e=60，即45+3e=60，得e=5從而確定中間的數字為5。

這樣從一個特殊的三階幻方引入，讓學生在特殊的幻方中發現蘊含的一般規律，學生經歷“從特殊到一般”“從具體到抽象”的歸納和抽象的過程，使學生在變化不定的特例中把握其不變的規律性，實現從特殊到一般的升華，在探究活動中提高學生的邏輯推理能力。

（二）從一般到特殊的推理

活動二：在圖6、圖7中，自主完成三階幻方。

活動三：請用1、4、7、10、13、16、19、22、25這九個數設計一個三階幻方。

在活動一中，學生發現了滿足幻方的數字之間所蘊含的一般規律，再利用這種規律和方法進行拓展應用，培養學生由一般到特殊地進行推理，活動二和活動三，在學生構造出幻方后，讓學生說清是如何構造的，通過這樣的過程可以很好地培養學生的邏輯表達能力和推理意識。以上三個活動中，教師始終關注學生的數學運算、數學抽象、邏輯推理、分析問題、解決問題等素養的落實和培養。

總之，基于核心素養的綜合與實踐課，教師要通過創設合適的教學情境，設計相應的數學活動，采用恰當的教學方法和策略，引導學生積極參與、獨立思考，從而內化為自己的數學知識結構，使數學核心素養的培養得到有效的落實。