直擊高考真題，掌握函數零點

江蘇省宿遷中學 李志中

函數零點是函數與方程部分的重要內容之一，涉及眾多的數學思想方法，是高考中的熱點與重點內容之一.函數零點不僅是高中數學思想方法的重要體現，而且有效體現了動靜結合的辯證思維.結合近年來高考對函數零點的考查情況分析，函數零點不再以簡單的形式來考查，往往以復雜的形式（分段函數、抽象函數、超越函數和交匯知識等）為載體，綜合函數的相關概念與基本性質，通過零點個數確定、參數求值、參數的取值范圍、綜合問題及開放性問題等形式出現.

一、零點個數的確定

對于函數零點個數的確定問題，往往把對應的函數轉化為方程，利用方程的情況來確定零點個數；或把對應的函數借助方程轉化為兩個基本初等函數，結合函數圖像的交點情況來確定零點個數.

例1 （2019年全國卷Ⅲ文5）函數f（x）=2sinx-sin2x在［0，2π］上的零點個數為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：通過三角函數關系式的恒等變形與轉化，進行因式分解，結合方程的求解以及條件的應用來確定方程的根的情況，從而得以確定零點個數.

解：因為f（x）=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx（1-cosx）.

令f（x）=0，得sinx=0或1-cosx=0，即sinx=0或cosx=1.

因為x∈［0，2π］，所有符合f（x）=0的x=0，π，2π，即函數的零點有3個.

故選擇答案：B.

點評：判斷函數零點個數的常見方法有：（1）解方程法；（2）零點存在性定理法；（3）數形結合法.借助方程的根、函數的性質或函數的圖像等來合理轉化，從而得以確定函數的零點個數問題.

二、參數取值的求解

涉及由函數的零點個數來確定相關參數的取值范圍問題，往往結合相應已知函數的圖像，通過零點個數利用數形結合來確定參數的取值范圍.

例2 （2019年江蘇卷14）設f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數.當x∈（0，2］時，f（x）=其中k＞0.若在區間（0，9］上，關于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數根，則k的取值范圍是______.

分析：結合題目條件加以合理的轉化，通過分類討論，結合圓的方程與直線的方程所對應的圖形加以數形結合，進而得以確定參數的取值范圍.

圖1

點評：涉及函數有零點或方程有實根條件下相關參數的取值問題，破解的常見策略主要有：（1）直接處理法；（2）分離參數法；（3）數形結合法.合理轉化，利用函數有零點或方程有實根的條件加以等價轉化，借助相關的技巧策略來破解.

三、綜合問題的應用

對于函數零點的綜合應用問題，往往與集合、函數、不等式、數列、三角函數、導數等相關知識加以綜合，結合相關的知識加以綜合應用，達到知識交匯、能力拓展的目的.

例3 （2018年江蘇卷11）若函數f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個零點，則f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為______.

分析：結合條件進行分離參數，通過均值不等式的應用確定函數f（x）在（0，+∞）內有且只有一個零點時參數a的值，在此條件下確定函數f（x）在給定區間上的最大值與最小值，從而得以確定其和.

解：由題可知方程f（x）=2x3-ax2+1=0（a∈R）在（0，+∞）內有且只有一個解，即在（0，+∞）內有且只有一個解.

所以函數f（x）在（0，+∞）內有且只有一個零點時，a=3，此時f（x）=2x3-3x2+1，則有f′（x）=6x2-6x，令f′（x）=0，解得x=0或x=1，

列表如下：

從上表可知，在［-1，1］上，f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（-1）=-4.

所以f（x）在［-1，1］上的最大值與最小值的和為f（x）max+f（x）min=1-4=-3.

故填答案：-3.

點評：本題還可以借助分類討論法、函數圖像法等思維方法來處理.借助分離參數法，可以很快確定參數的值，并借助此時所確定的函數來求解其最值問題，簡單易操作.涉及零點的綜合應用問題，關鍵是要進行合理轉化，采取合適的方法來破解.

四、開放性問題的處理

函數零點問題也是處理一些函數開放性問題的理想場所，其有效交匯分段函數、周期函數、抽象函數等問題，可以用來確定參數的取值情況、零點個數的討論、函數的相關性質等開放性問題.

例4 （2019年浙江卷9）已知a，b∈R，函數f（x）=若函數y=f（x）-ax-b恰有三個零點，則（ ）.

A.a＜-1，b＜0 B.a＜-1，b＞0

C.a＞-1，b＜0 D.a＞-1，b＞0

分析：把函數恰有三個零點問題結合分段函數進行分類討論，結合不同條件下函數零點的個數加以有機取舍，從而得以分類討論，利用排除法來解決.

解：函數y=f（x）-ax-b恰有三個零點，等價于y=f（x）與y=ax+b的圖像有三個交點，當x≥0時，由f（x）=可得f ′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），而f（0）=0，f′（0）=a，則當a≤-1時，y=f（x）與y=ax+b的圖像不可能有三個交點，排除選項A，B；

故選擇答案：C.

點評：破解此類函數的零點的開放性問題的常規思維方式是：（1）將函數的零點個數轉化為兩個函數圖像的交點個數問題，利用數形結合思維來處理；（2）直接利用原函數的圖像及零點的存在定理來處理.

其實，要注意函數零點、方程的根、不等式的解集這三者之間的關系，合理有效的相互轉化是破解此類問題的關鍵，同時經常加以數形結合，結合函數的圖像加以直觀解決.涉及函數零點的問題還經常與導數問題加以交匯，在一些解答題中出現，以證明零點個數、確定參數的取值范圍等形式出現，也要引起高度重視.W