對(duì)教材中點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)的建議

甘肅省蘭州市第十八中學(xué) 王立森

對(duì)高中數(shù)學(xué)中“點(diǎn)到直線的距離公式”的引入推導(dǎo).人教版高級(jí)中學(xué)課本《平面解析幾何》全一冊(cè)（必修）第一章第1.10節(jié)中，用平面幾何和三角函數(shù)的知識(shí)推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式.這是一種“不經(jīng)分析”而又難以想到的推導(dǎo)方法，其推導(dǎo)過程實(shí)際是很繁雜的.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）課本《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)（上）§7.3節(jié)和現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（必修2）§3.3.3中都用平面幾何的知識(shí)（即作出三角形用等面積法）推導(dǎo)出了點(diǎn)到直線的距離公式，大家很容易想到這種方法，但推導(dǎo)過程也比較復(fù)雜.

這兩種方法的具體過程大家看看課本就知道，筆者想每個(gè)任課教師在教學(xué)中都深有感觸，特別是第二種新修訂的現(xiàn)行教材中的方法與新教材改革的發(fā)展方向?qū)φ詹]有多大改觀和新穎之處，有必要重新修訂.點(diǎn)到直線的距離公式在高中數(shù)學(xué)中是很重要的知識(shí)點(diǎn)，而在多年的教學(xué)中筆者感覺到學(xué)生只知道使用而不會(huì)推導(dǎo)、證明，有些學(xué)生甚至看不懂教材推理，因而對(duì)它的使用也很淡化.

筆者認(rèn)為，平面解析幾何的性質(zhì)是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，而用代數(shù)方法研究幾何問題，運(yùn)算量大是平面解析幾何的最大難點(diǎn)，教師講解困難、學(xué)生理解也困難.若用向量來推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，則可以減少這種繁雜的代數(shù)運(yùn)算，使學(xué)生容易理解和掌握，同時(shí)也符合現(xiàn)行教材改革的發(fā)展趨勢(shì).下面談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

一、建議將教材§7.3節(jié)后的閱讀材料《向量與直線》變?yōu)榻虒W(xué)內(nèi)容

全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）課本知識(shí)結(jié)構(gòu)的銜接、編排相對(duì)比較合理，而現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書的知識(shí)結(jié)構(gòu)的銜接、編排不夠好.若系統(tǒng)調(diào)整教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，特別在向量的概念和應(yīng)用上統(tǒng)一編寫一章，增加“直線的法向量”和“平面的法向量”的概念，可以解決平面幾何、空間立體幾何和平面解析幾何中的許多疑難問題.例如：將全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）課本《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)（上）§7.3節(jié)教材后的閱讀材料《向量與直線》加以編輯，突出直線“法向量”和直線的“點(diǎn)法式方程”作為正式教學(xué)內(nèi)容放到教材§7.2節(jié)后，這樣變更的目的使學(xué)生明確直線的“法向量”是決定直線的一個(gè)重要因素，通過推理直線的“點(diǎn)法式方程”使學(xué)生懂得，可以從直線l的方程Ax+By+C=0中直接觀察得到向量n=（A，B）為直線l的一個(gè)法向量，為推理點(diǎn)到直線的距離公式奠定基礎(chǔ).

二、直線法向量的概念和直線的點(diǎn)法式方程

若向量n與直線l垂直，則稱向量n為直線l的法向量.

圖1

如圖1，設(shè)直線l的法向量為n=（A，B）且經(jīng)過點(diǎn)P0（x0，y0），則點(diǎn)P（x，y）在直線l上的充要條件是則有，因?yàn)椋谑牵本€l的點(diǎn)法式方程為A（x-x0）+B（y-y0）=0，即Ax+By-（Ax0+By0）=0，由此我們可以看出以直線一般式方程中的x、y項(xiàng)的系數(shù)為坐標(biāo)的向量n=（A，B）是直線l的一個(gè)法向量.

三、用直線的法向量推理點(diǎn)到直線的距離公式

在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），已知直線l的方程是Ax+By+C=0，如何用直線的法向量推理點(diǎn)到直線的距離公式呢？

圖2

已知直線l的法向量為n=（A，B），如圖2，在直線l上任意取一點(diǎn)M（x′，y′），則向量的坐標(biāo)為（x0-x′，y0-y′）.因?yàn)辄c(diǎn)P到直線l的距離d為向量在直線l的法向量n上的投影，設(shè)向量與n的夾角為，那么有：

因?yàn)辄c(diǎn)M（x′，y′）在直線Ax+By+C=0上，則Ax′+By′+C=0，C=-（Ax′+By′），那么

如果A=0或者B=0時(shí)，上述公式仍然適用，于是得到點(diǎn)到直線的距離公式：

這個(gè)推導(dǎo)過程與教材的推導(dǎo)相比容易多了，思維方法簡單、易懂，注重了向量的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，經(jīng)過幾屆學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐，效果很好，同時(shí)激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣.因此，建議新課程教材改革能按這個(gè)推導(dǎo)過程改編.W