利用“嘗試錯誤”促進學生數學思維品質發展的實踐研究

江蘇省海州高級中學 陶 飛

思維這一認知的核心成份其實是人腦概括事物本質及其中規律性關系的反映，培養學生的數學思維品質有助于學生數學能力的突破和發展.學生在新知識的學習、應用等方面都會產生一定的“嘗試錯誤”，教師應抓住機會并借助教材的內涵與本質以促進學生數學思維品質的養成和發展.

一、利用“嘗試錯誤”促進學生深刻思維

學生只有具備一定的思維抽象程度、邏輯水平、思維深度才能對問題展開全面的思考并學會追根究底，教師應幫助學生學會挖掘知識的本質并促進學生進行深刻思維，借助學生的錯解使其思維達到一定的深刻程度.

兩種解法所得的結論不相同，這又是什么原因呢？學生的思維因為答案的不同而活躍起來.教師此時可以引導學生對兩種解法中所運用的運算法則進行思考，啟發他們發現運算法則運用時應該滿足的條件，當a＞0時，有（am）n=amn；而當a＜0或a是虛數時，亂用法則就會使錯解產生，因此，解法2顯然是對的.

二、利用“嘗試錯誤”促進學生靈活思維

學生能夠根據客觀事物的發展和變化及時調整思路并做出一定的改變，能使其獲得新的解題方法，這是學生具備靈活性思維的具體體現.學生經常會因為數學概念、法則、公式等理解的不夠而產生解題錯誤，教師應根據學生在判斷、推理論證、解題上的錯誤進行針對性的思維訓練，使學生能夠在具體問題中進行靈活思維并及時調整思路，繼而正確解題.

這是筆者在剛剛教完均值定理之后舉出的一個例子，考慮到了學生的習慣性思維并板書出了以下所示的錯解：

板書錯解之后，筆者并未將正確答案公布出來，而是對學生進行了引導、啟發與討論，使其發現不等式x+成立的條件應為x＞0，但題中函數的定義域明顯是{x｜x≠0}，因此以上解題方法明顯是不對的.筆者在學生思考至此，又引導學生在此題的求解中是否可以運用均值定理進行了思考.很快有學生領會到了應分x＞0、x＜0這兩種情況并運用均值定理來求解.

筆者又啟發學生進行了新解法的探尋，這是有意引導學生改變解題思路并促進其靈活思維的啟發，學生在點撥下很快想出了利用判別式求解函數值域的解法：

因為Δ=（-y）2-4×4=y2-16，所以y2-16≥0，解得y≤-4或y≥4.

所以該函數的值域為（-∞，-4］∪［4，+∞）.

學生思維的靈活性因此得到了很好的培養，不僅如此，對均值定理這一知識的理解也因此加深.

三、利用“嘗試錯誤”促進學生批判思維

學生只有具備估計思維材料、檢查思維過程的品質才會在解題中敢于質疑，敢于批判.教師在具體教學中可以盡量暴露學生的錯誤并啟發學生思考，培養學生敢于懷疑的意識與品質并使其辨誤能力大大提升.

例3 在△ABC中，b=11，a=25，∠B=30°，試求∠A的大小.

這是一道教學正弦定理過程中的習題，學生有以下解答：

筆者也曾告訴過學生，三角函數不是特殊值時可以運用反三角函數對角進行表示.因此，學生給出這一解法之后，筆者首先請學生對這一解法的正誤進行了判斷.絕大部分的學生認為解題沒錯，但有一名學生卻提出了0＜sinA≤1的結論，但此題中的這樣的∠A顯然是沒有的.首先筆者對于學生敢于提出異議、善于思考與辨誤的勇氣進行了肯定與贊賞，接著便組織學生對三角函數的性質重新進行了反思，其他學生也終于認可了這位學生的答案.

四、利用“嘗試錯誤”促進學生敏捷思維

在正確解題的前提下迅速而簡捷地進行思維能使學生在解題中有效縮短運算環節與推理過程.教師應有針對性地訓練學生的解題速度與能力，幫助學生學會總結快速解題的經驗并概括規律，使學生能夠在熟練、正確的解題鍛煉中獲得思維敏捷性的提高.

例4 已知直線l過點A（0，1）并和拋物線y2=x有且僅有一個公共點，試求直線l的方程.

學生解題如下：

解：設直線l的方程是y=kx+1，代入y2=x，可得k2x2+（2k-1）x+1=0.

因為直線l和拋物線y2=x有且僅有一個公共點，所以Δ=（2k-1）2-4k2=0，解得

引導學生對這一解法進行分析，可發現錯誤如下：①在利用點斜式設直線l的方程時將斜率k不存在的情況忽略了，也就是忽略了直線l垂直于x軸的這種情況；②利用判別式研究一元二次方程的根時，二次項系數k≠0，則在解題時必須考慮直線l和x軸平行這種情況.因此，上述解法明顯是不完整的，直線l應有以下三條：y=

事實上，啟發學生發現解題錯誤，還可以引導學生通過作圖來發現，引導學生作出圖1即可發現解題中的漏解之處.這種解題不僅快捷而直觀，還能滲透數形結合的思想并令學生的思維敏捷性得到鍛煉和拓展.

圖1

五、利用“嘗試錯誤”促進學生獨創思維

學生具備思維的獨創性能使其在獨立思考中尋得具有新意的思路或方法.學生在獨創思維中或許存在缺點與錯誤，但這種不循常規、尋求變異、勇于創新的思維習慣與品質卻往往能使學生的解題獨樹一幟.

例5 某雙曲線經過點A（-5，2），其焦點坐標為（-6，0）、（6，0），試求其標準方程.

很多學生面對此題時均想到了待定系數法，運用此法解題需要解方程組并求出標準方程中的a2與b2，這一解法相對常規但不夠簡捷.不過也有少數學生想到了以下具有一定特點的解法：

這種解法與運用待定系數法解題相比，顯然在計算上更加簡捷.筆者對少數學生的這一獨創解法及時進行了肯定與贊賞，并引導學生回顧解題并發現其中是否存在錯誤，很快有學生發現a＞0這個條件被忽略了，因此并不正確，解法也應作出修改如下：

上述解法雖然存在一定的錯誤，但解題者的獨立思考、對相關知識的深刻領悟、獨創性思維卻在解題中得到了充分的展露.

因此，學生數學學習中的錯誤并以此為基礎作出的思維引導，能使學生在“嘗試錯誤”的辨析中獲得更好的審視、體驗與反思，使學生的數學思維品質得到針對性的培養與鍛煉并獲得數學能力的提升.教師在利用學生的“嘗試錯誤”進行教學與訓練時，應引導學生對錯誤進行新的審視與反思并使其能夠明辨是非，使學生能夠在更加深刻地理解、領悟數學概念和定理與公式時獲得數學素養的鍛煉和提升.W