淺論數學課堂教學中的“數學敏感性”

南京市江寧高級中學 李中華

課堂教學是學校教學的主要呈現形式，學生的學習與思維的形成主要是在課堂上形成的.學生素養的高低取決于課堂教學的設計與教師的引領.培養學生的數學素養是數學教學的重中之重，而培養學生學習過程中的“數學敏感性”是首先要解決的問題.

敏感性是指在存在電磁騷擾的情況下，裝置、設備或系統不能避免性能降低的能力；敏感性高，則抗干擾性低.敏感性（sensitivity）是約瑟夫奈和基歐漢在《權利與相互依賴》一書中創造的一個用于分析國際政治的概念，它是指依賴效應的大小與快慢，用來描述體系中某個部分的變化會在多短的時間內導致其他部分也發生變化的指標.在性格上可認為是過度地在意細節帶來的感受和變動并善于將之放大，然后做出相應的反應.因此“數學的敏感性”，我們可以定義為學生在學習數學的過程中，數學的構成元素文字語言、符號語言、圖形語言、數學語言等對學生觀察力、思維力、聯想力、注意力等產生突發性影響的學習性變化和探索性變化.學習數學重在發現與思考聯想，“數學的敏感性”對培養這種能力至關重要.

一、在課堂教學中重視數學語言與符號的“敏感性”教學

數學學科獨有的描述形式是這一學科的顯著特點，往往在文字或符號上顯示出思維的邏輯性與關聯性.比如高中數學中“恒成立”和“存在性”問題的判別，在教學中這兩者往往是聯系在一起講解的，學生也可以對比理解這兩種知識的原理.如：

2.設F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，若存在點P使得求橢圓的離心率的取值范圍

這兩道題在教學中學生理解有很大的思維障礙.

第1題：設P（x，y）是雙曲線上異于A，B的點，A（-a，0），B（a，0），因為直線PA，PB的斜率之積為2，所以kAP·kBP=2，得，整理得y2=2x2-2a2.在得到這個數學式子后絕大多數學生想到的是與雙曲線方程聯立求解，我們可以消去變量y，得到（b2-2a2）x2=a2b2-2a4，有的學生注意到了（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2），就把兩側的b2-2a2消掉了，得出了矛盾性的結論x2=a2（P為雙曲線上異于A，B的點），由此學生思維陷于停頓.那么學生的思維怎樣出現的這種狀態呢？這是由于在兩個數學知識點上“數學文字不敏感”與“數學符號不敏感”產生了錯誤的解法.首先（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2），方程兩側是不能直接消掉b2-2a2，要考慮這個式子能不能為零的情況，b2-2a2是“不確定的量”，字母本身含有“不確定性”，學生對字母表示的數學式子總是遺忘這種“不確定性”.再就是題目中“P為雙曲線上異于A，B的點”這句話，表面平淡無奇，但“點P”具備“任意性”，只要不同于A，B兩點，隨你在雙曲線上怎么取點，如果學生注意到了語言中暗含的這種特點，那么解題的思路方法便會豁然開朗.

方法三：學生在閱讀題目時，還是在對“點P”位置能不能“敏感”一些，這個點具有普遍性，也就是“任意性”，轉化為（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2）對任意x（x≠±a）恒成立，那么問題也就明朗了，只需b2-2a2=0，進而求出離心率.

以上兩題對學生都有不小的難度，兩題非常相似，但題目的轉化處理不一樣，學生對相關的文字與符號沒有數學的“敏感性”是很難找到正確的解法的.

二、在課堂教學中重視數學圖形的“敏感性”教學.

在數學教學中，常常會出現相關的數學圖形，圖形所反映出的數學特征多數情況下是解題的突破口，如橢圓教學中，常出現的一種圖形是：

圖1

如圖1，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，過橢圓的右焦點作直線AB，若直線AB的傾斜角為θ，要求把焦半徑AF2，BF2表示成θ的函數.在這個問題中，基本上學生是設直線AB的方程與橢圓方程聯立求A，B點的坐標，但在解題過程中發現這個方法太煩瑣了.出現這種想法的原因在于學生對橢圓圖形的“不敏感”，橢圓的圖形中涉及了一個焦點的弦，它的敏感觸點在于橢圓的定義，或者焦點是兩個，屬于“難兄難弟關系”，一個被用到，你卻不關注另一個，這本身就是一種忽視，是一種對“數學關系自然關聯”的不敏感，連接AF1，BF1后，出現了兩個焦點△AF1F2，△BF1F2，分別在△AF1F2，△BF1F2內，應用余弦定理可以建立焦半徑與a，b，c，θ的聯系.

即（2a-|AF2|）2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|×|F1F2|×cos（π-θ）.

所以4a2-4a×|AF2|=4c2+2|AF2|×2c×cosθ.所以a2-c2=a×|AF2|+|AF2|×c×cosθ.

可得到b2=|AF2|×（a+ccosθ），即.同理可得

進而有焦點弦長公式：

應用此結論解答2019年全國卷第10題：

例題（2019年全國卷）已知橢圓C的焦點為F1（-1，0），F2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（ ）.

解析：由|AF2|＝2|F2B|，得所以a=-3cosθ.

由于|AF2|＝2|F2B|是兩個焦半徑，應該聯想到橢圓定義的應用.

設|F2B|=m，可得|AF2|=2m，|AF1|=2a-2m，|BF1|=2a-m，|AB|=|AF2|+|BF2|=3m.

因為|AB|＝|BF1|，所以2a-m=3m.所以

在這里如果學生對數值“敏感”，可以立即由|AF2|=2m=a判斷出點A就是橢圓短軸的一個端點，從而修改自己畫的不準確的圖形（如圖2）.

圖2

在三角形AOF2中，cosθ=，所以得a2=3.又c=1，所以b2=2，即橢圓C的方程是.故選B.

當然此題還有其他解法.比如題目中的條件|AF2|＝2|F2B|，如果學生對線段長之間的數量關系也“敏感”一些的話，這個“敏感”應是“線段長成比例”的認識，線段長成比例問題，在坐標系中往往作坐標軸的垂線，構造出其他線段長的比例問題，繼而找出點的坐標，在本題中可過點B向x軸作垂線，根據比例求出點B的坐標為代入橢圓方程可求a2，b2.

數學教學對學生的思維能力的培養至關重要，但課堂中學生的思維意識是多角度和發散的，教師培養學生對數學知識點的“敏感性”就相當于我們在陌生的路途中建立起行走的“標識”，當我們再一次遇到這個“標識”，我們要有遇到“故知”的“敏感”，這種“敏感性”是對數學語言與符號、圖形的“辨識”，或者說是一種“意識的行為本能”，當學生在學習中建立起這種“敏感性”，那么學生的思維能力會有巨大的突破，教師在數學教學中引領學生建立起數學知識中的這種“敏感性”是數學課堂的核心.W