大數據平臺下多題歸一思想的高三數學微專題復習*
——試卷講評課《圓錐曲線的離心率問題》教學設計

廣西柳州市第二中學 簡 璐

一、選題背景

2018年8月以來，我校高三年級數學組開始使用江西南昌教育風向標公司推出的知心慧學提分寶（以下簡稱“提分寶”）.在最初的使用階段，學生每周進行一次周測，在大數據技術的支撐下提分寶針對每個學生的錯題推送兩個變式題，皆符合學生當前的能力層級，科學地實現分層，效果良好.使用中后期，也伴隨高考備考復習進入二輪復習階段，筆者在專題復習與精準教學的結合方面做了一些嘗試，即筆者依據大數據平臺的數據分析研究設計試卷講評課，將微專題復習與試卷講評有機結合.既明確試卷講評課的任務，又優化微專題復習的效果；既留出足夠的認知空間給學生“悟”，又體現了教師的主導作用；既在課堂上實現“一題多解”，又做到“多題歸一”.筆者認為“試卷講評+微專題復習”的模式符合高三二輪復習階段的迫切需求，一方面，解決了學生普遍存在的問題，針對性強；另一方面，教師通過微專題復習，突出了教學的重難點，將教師對于考綱、考點、考題的研究轉化為具體的試題，可操作性強；再通過多種解法的呈現，讓學生通過對比、轉化、歸納等方法領悟學科知識的本質，從而在今后遇到此類問題時，思維清晰，邏輯嚴密，提高答題正確率.

二、課前準備

上課前一天，學生自主用40分鐘做了一份微專題作業：圓錐曲線的離心率問題專題小測.題量是6個選擇題+4個填空題；分值為100分，每題10分；內容是橢圓與雙曲線的離心率問題，考查兩曲線的定義、幾何性質、數形結合的思想、方程的思想、函數與不等式結合解決范圍問題.教師全批全改.大數據平臺提供的數據分析如下：（1）班級學生人數：55人，成績是3個滿分，5個90分；（2）具體列出大幅進步、大幅退步的5位學生；（3）各題錯誤率；（4）知識點掌握情況的列表.教師通過大數據分析，發現橢圓和雙曲線的定義和幾何性質掌握得較好；但問題涉及比較復雜的幾何圖形關系、多條曲線的關聯等，正確率下降（這是本節試卷講評課主要突破的內容）；數量關系涉及不等式關系或函數最值問題時，正確率最低，不作為當前的教學重點.

為提高試卷講評課的課堂效率，突破重難點，制作了導學案.在PPT中預先展示了許多學生試卷上的答題過程，以備課堂討論之用.

下面以試卷講評課“圓錐曲線的離心率問題”的教學設計為例，探討大數據平臺下多題歸一思想的高三微專題復習.

三、教學設計

（一）內容解讀

《圓錐曲線的離心率問題》隸屬高中數學八大板塊中的“平面解析幾何”板塊，該板塊學習了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線五種曲線，分別從曲線的定義、標準方程、曲線的幾何性質方面系統研究，板塊內的知識融合體現在：①直線與圓，直線與圓錐曲線的位置關系；②除直線外的兩種曲線相交、相切的問題；③在復雜的曲線位置關系中特殊幾何性質的考查.例如：漸近線、離心率.該板塊是高中數學的集大成者，包含了數形結合、函數與方程、分類討論、轉化與化歸四大數學思想，融通了函數、三角、向量、平面幾何、平面解析幾何的相關內容，試題具有很高的邏輯性、綜合性、創新性.《圓錐曲線的離心率問題》是其中的一個核心考點，它有利于培養學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算素養，多出現在小題，具有基礎性好、靈活性強、思維發散性廣的特點.伴隨高考改革，這部分試題的難度近年來有所下降，成為學生取得理想成績的必備復習內容.

（二）教學目標

1.知識與技能

了解離心率（橢圓、雙曲線）問題的基本解法是找到橢圓、雙曲線標準方程中a，b，c的等量關系或不等關系，并聯合a，b，c自身的勾股性質，得到a，b，c三個元中兩個元的齊次式（或齊次不等式），從而得到離心率e的方程（或不等式）.

2.過程與方法

（1）通過直觀想象，利用三角形中的邊角關系、平面幾何相關的性質定理等，在尋求等量關系時可以減少計算量，體現高考“多一點想，少一點算”的考查原則.

（2）通過一題多解，體會代數法、幾何法的特點和優勢，領悟通性通法在解題中的重要作用.

（3）通過多題歸一，歸納總結此類問題的解題流程，體會高三微專題復習的要領和學習方法，落實數學素養的培養過程.

3.情感態度與價值觀

通過學生與學生的交流、多種方法思維的碰撞、教師的適度引導，認識圓錐曲線離心率問題的本質，培養高層次數學思維，通過轉化與化歸，領悟各變量間的相互關系，抓住解決問題的本質，實現多題歸一.

（三）教學重點和難點

重點：用通性通法（方程思想、數形結合思想）求解橢圓或雙曲線的離心率，在問題有多種解決方案時，選擇簡便的途徑，并且歸納出此類問題的解題流程.

難點：求解橢圓或雙曲線的離心率的范圍、最值問題.

（四）教學過程設計

1.考試情況反饋

通過大數據統計，展示幾組數據：

（1）表揚班級的前5名，大幅進步的5名同學.

（2）各題錯誤率（表1），根據“最近發展區”原理（錯誤率40%～70%），確定試卷講評課講3個題，即第3，5，6題.

（3）展示知識點掌握情況，分析發現：當離心率問題涉及比較復雜的幾何圖形關系或多條曲線關聯時，問題解決的錯誤率升高了.因此，明確本節課的主要任務.

（4）展示兩份優秀試卷.優秀的依據是正確率高，規范，試卷上有解題的思路和部分過程，易于糾錯.

2.綜述知識與例題探究

問題1：通過課前專題小測，你能體會老師編寫微專題的意圖嗎？

設計意圖：高三數學微專題復習發生在一輪各章節知識點系統復習之后，其目的是針對學生目前存在的主要錯誤，糾正認知偏差，夯實基礎，明晰概念本質，強化通性通法.因此，首先引導學生總結現有知識網絡，即學生須明白，哪些內容是已經掌握的.

課堂反饋：學生體會解決圓錐曲線的離心率問題，方程思想很重要.由圓錐曲線的定義和幾何性質等，得到關于a，c的關系，從而得到e的方程或不等式，求解e的值或范圍.顯然，基本數學思想和通性通法已經明確.

問題2：（前測3）F1，F2是雙曲線0）的左、右焦點，過F1的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）.

設計意圖：當問題涉及的“量”增加時，學生將面臨三個困難：①正確畫圖，將數學語言轉化為圖形語言，準確地翻譯題目；②在眾多變量的相互關系中尋求穩定不變的關系；③將關系用盡量少的變量來表示.這三個困難只要有一個環節出錯，都將導致解題錯誤.試題很好地體現了直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的考查，同時也體現了數形結合、轉化與化歸數學思想的應用.這也是學生差異產生的源頭所在.

課堂反饋：

（1）前測3學生A講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

解：依題意設｜BF2｜=m，則｜AB｜=m，｜AF1｜=｜BF1｜-｜AB｜=m+2a-m=2a，知｜AF1｜=2a，則｜AF2｜=4a，｜F1F2｜=2c.所 以所以

故選項C正確.

（2）前測5學生B講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

解：依題意，由｜OE｜=2｜ON｜，可設N（0，1），E（0，-2），所以由A（-a，0）的方程為由B（a，0），N（0，1）的方程為兩直線交于點M，得x=-3a.因為點M在直線PF上，所以-3a=-c?e=3.

前測5學生C講解他的解答過程（在電子白板展示其試卷）

故選項A正確.

課堂評價：三個同學的共同優點是圖形美觀，解題步驟簡潔清楚，數學表述重點突出、邏輯性強.解題中靈活應用了定值模型、三角形的余弦定理、直線的方程、平面幾何的相似關系，體現了綜合應用知識的能力.學生A運用雙曲線的定義巧妙選擇變量；學生B運用特殊值，結合曲線的方程（解析幾何通法），用代數方法解決幾何問題；學生C運用直觀想象發現相似的特性，用比值解決問題，計算量大大減少.

3.梳理總結

筆者請同學們由本節課的幾個題總結出關于圓錐曲線的離心率問題的解題流程.學生能畫出簡單的思維導圖，解題流程如下：

審題，作圖，直觀想象→有無常見的背景或模型→尋找幾何特征與性質，實現轉化→設點設線，用解析法解決問題.

從數學素養養成的角度，上述流程分別對應著：直觀想象，數學建模，邏輯推理，數學運算.

四、教學反思

（一）多題歸一思想的微專題復習創造試卷講評課的高效模式

高三復習備考階段，學生和教師都要面臨大量的題目，有許多同類型的題.有知識點不同，但思想方法一樣的題；有所屬知識板塊不同，但考查的核心素養一致的題……為了提高學生的復習效果，增強復習的信心，教師一頭扎進題海，摸索一番之后，多題歸一思想的微專題復習最終將許多的題揉成一條線，線頭一觸動，一串題全解決，而線頭就是學科知識的本質.它造就了大數據平臺下的新型試卷講評課，筆者將它命名為“微專題復習+試卷講評模式”.

這樣的試卷講評課避免了就題講題，目標不清晰，任務不明確，重復低效的狀況，同時在大數據平臺數據分析的引導下，它是高效、針對性強、目標清晰的一堂課，學生通過“課前、課中、課后”的一條龍引領啟發，優化復習方法，感悟學科精髓，最終學會學習，學會借數學思想解決問題，學會用數學的眼光看待世界.

（二）多題歸一思想的微專題復習創造學生大放光彩的課堂

學生是學習的主體，學生的“悟”是學習的最高境界.試卷講評課的前提是學生對大部分題目都有自己的解法，而數學題大多可以一題多解，特別是到了二輪復習階段更是如此，所以講評課堂留出大塊的時間讓學生講、討論、表述、反復推演、梳理、總結.這樣的課堂極大地培養了學生的自信心、思辨能力、表達能力.許多學生為了能在課上說自己的解題方法，課下加倍做功課，例如：反復推理解題的嚴謹性；慎重思考運算的合理性；積極尋求其他方法的巧妙性，這難道不是學好數學的催化劑嗎？更進一步，學生還學會自己總結一些小專題，與同學老師分享.多題歸一思想的微專題復習教會學生尋找規律，尋同，求異，學會變通轉化，既開拓思路又匯聚要領.它是學生數學核心素養培育的肥沃土壤.

當然，這樣的課堂對教師的要求很高.看似一堂課，考驗十年功.教師的課前選題，課堂拓展，課后強化要做到“高效+精準+全面”，需要教師學上一桶，方能舀出一勺.

（三）大數據精準教學系統實現學生的個性化學習，關注每一個學生

考試后，大數據平臺給學生推送“提分寶”試題.教學中，筆者給學生留出專門的時間完成，并經常檢查，開展個別輔導.一定不要讓針對性很強的作業被其他形式的作業掩蓋，導致不理解的知識點還是吃不透，某一些計算還是同樣出錯，思維需要完備的環節始終不完整……這些都是導致丟分的直接原因.大數據平臺對學生所處層級科學定位，準確推題，教師引領，真正改變當前落后的教育狀況：學生毫無選擇，身心疲憊，進展緩慢；老師疲于奔命，抱怨生源下降，教多少遍都會不了.當然，數學題的知識點多，結合點多，方法靈活多變，所以學生應該對學習中的困難有充分的準備，踏實學習；教師應該以教研引領研究考綱考題，更新觀念學習新技術，立足知識本源，揭示學科本質，在新興科技創造無限可能性的今天，讓學習事半功倍，關注學生的持續發展.