基于高頻連分式與有限元法的水下結構瞬態分析方法

李上明，陳紅永，吳連軍

（1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽621999；2.工程材料與結構沖擊振動四川省重點實驗室，四川綿陽621999）

0 引 言

水下結構聲固耦合問題在工程中經常遇到，如水下結構聲散射問題、遠場沖擊波結構響應問題等。這類問題中，通常將水下結構考慮為符合連續介質理論的有限結構，而水下結構周邊流體考慮為無粘無旋的理想流體即無限聲學水域，滿足聲學波動方程。該類問題的關注重點之一為高效準確地模擬無限水域的動力特性。

模擬無限水域的通常方法為利用無限水域截斷面將無限水域截斷成有限水域，并在截斷面上施加合適的、能有效反映無限水域特性的單元或邊界條件。無限元及無反射邊界就是其中的方法之一，并已嵌入如Ansys、Abaqus、LS-Dyna 等有限元商業軟件中，便于工程分析人員使用。但為獲得合理結果，無限元法要求無限水域離散場大，離散半徑通常要求在分析結構半徑的6倍及以上[1]，而無反射邊界也存在相同問題。

作為一種半解析方法，比例邊界有限元法（SBFEM）[2]在模擬無限水域方面展現出突出優勢，即模擬無限水域時，離散區域小，自由度少，甚至可以在結構與無限水域的耦合面處離散無限水域，并且SBFEM 是半解析解方法，在徑向方向即離散面法向方向是精確解，嚴格滿足無窮遠處輻射條件。該方法已成功應用于分析無限水庫[3]和無限海水[4]，但因其含有卷積積分，所以在瞬態分析中存在計算效率不足的問題。

為提高其瞬態計算效率，學者們提出了連分式方法[5]，并已在無限水庫[6]及無限巖土[7]模擬中得到使用。連分式公式有效避免了SBFEM卷積積分，有效提高了其計算效率，并通過增加一輔助矩陣［8］提高了其在無限巖土模擬中出現的病態矩陣問題，但其模擬無限水域是否也會出現病態矩陣問題還需探討。此外，為有效模擬有限水域與無限水域的耦合響應，文獻[1，4]建立了基于動態質量矩陣的SBFEM 與FEM 的耦合方程，有效分析了水下結構的聲固耦合響應，但繼承了SBFEM 計算效率不足的缺點。本文將基于SBFEM高頻連分式公式，聯合FEM方法，建立連分式與FEM的耦合方程，實現水下結構的高效模擬。

1 無限聲學水域連分式方程

對于圖1所示的含無限水域及水下結構的聲固耦合系統，聲學水域滿足聲學波動方程

式中，c、p 和t 分別為聲音在水中的速度、壓力和時間。在圖1 中，聲學水域被無限水域截斷面分成有限水域及無限水域。文中采用SBFEM模擬無限水域，其離散模型見圖2，即只需離散截斷面S，而截斷面上的單元代替了圖1 所示的無限扇形區域，并且任意單元i 和j 具有相同的相似中心o，整個無限水域的動力特性通過截斷面上的動力方程描述。

對于滿足（1）式波動方程的無限聲學流體，根據SBFEM理論[2]，在無限水域截斷面S上滿足

式中：Nf為無限水域截斷面離散后聲學單元形函數，ρ為聲學流體密度，ω為圓頻率，an( ω )為單元外法向加速度，正方向指向相似中心o；p( ω )和a( ω )分別為無限水域截斷面所有節點壓力列向量和等效加速度列向量；S∞( ω )為無限水域動態剛度矩陣，獨立于p( ω )和a( ω )，根據連分式理論[5]滿足

基于（3）式和（4）式，（2）式可寫成如下連分式形式

式中，

（3-9）式中所有系數矩陣K∞、C∞、和經推導滿足文獻［5］相應公式。詳細計算公式見文獻［5］，其中，p(i)為輔助變量，M為連分式高階展開階數，I為單位陣，上標T表示矩陣轉置。

2 聲固耦合系統的FEM方程

對于圖1無限水域截斷邊界以內的水下結構與有限水域的聲固耦合系統，其耦合算法相對成熟，常采用直接耦合法（即強耦合法），其耦合方程可寫為

式中：M、C和K分別為結構與聲學流體區域的整體質量、阻尼和剛度矩陣，均可由標準有限元法獲取；上標P 表示與聲學流體相關的物理量，上標fs 表示與聲固耦合相對應的物理量，下標1 和2 分別代表除了無限水域截斷面之外所有自由度對應的變量和無限水域截斷邊界上自由度對應的變量；{ }u 表示結構節點位移列向量，{ P} 為結構振動產生的聲學流體節點壓力列向量。{Fu} 為結構節點等效力列向量，{Fp} 為有限水域節點等效加速度列向量。

圖1 聲固耦合系統圖 Fig.1 Acoustic fluid-structure coupling system

圖2 無限水域SBFEM離散模型Fig.2 SBFEM discretization of infinite fluid

式中，an為單元外法向加速度，正方向遠離相似中心o。

3 連分式與FEM的耦合方程

根據動力學條件，在圖1 無限水域截斷面上，需滿足壓力和加速度相等。根據（2）式和（11）式，由于其加速度的正方向定義為相反，即有

聯合（5）～（13）式得

式中，

（19）式為用高頻連分式模擬無限水域的水下結構聲固系統的全耦合公式。該公式可采用Newmark直接積分法進行水下結構的瞬態響應分析。

4 算 例

4.1 內壓作用下水下橢圓殼瞬態響應

考慮浸沒在無限海水域中、由兩共焦橢圓構成的橢圓環在均布內壓作用下的瞬態響應，考察檢驗（14）式的正確性。

均布內壓在5 ms 內從零逐漸變為單位壓力（1 Pa），之后保持不變。共焦橢圓的半長軸分別為53.85 cm 和52.83 cm，半短軸分別為36.32 cm 和34.79 cm，彈性模量為200 GPa，泊松比0.3，密度為7849.7 kg/m3。海水的密度為1 023.1 kg/m3，海水中聲音速度為1 498.6 m/s。

文中將無限海水分割成有限水域和“無限”水域（見圖3），“無限”水域采用比例邊界有限元法離散，有限水域與橢圓環分別用四節點聲學有限元和四節點平面應力有限元單元離散。

圖4 給出了截取半徑為長半長軸1.2 倍的SBFEM 卷積積分公式與高頻連分式、截取半徑為長半長軸40 倍的無限元模擬無限水域的結果。SBFEM卷積積分和無限元的結果正確性在文獻[1]中已論述。

從圖4 可知，結構響應以低頻響應為主。當連分式階數M 較低時，結果偏離SBFEM 卷積積分的結果，但隨著階數M 的增加，結果逐漸逼近SBFEM 卷積積分等其它結果。這說明高頻連分式隨著階數M 的增多，能逐漸逼近結構的低頻響應，進而實現無限水域特性模擬。

圖5給出了截取半徑為長半長軸1.2倍、M=50高頻連分式的不同計算時間步的計算結果，即不同計算時間步下結果幾乎相同，即（14）式對時間步不敏感，而SBFEM卷積積分則需時間步小于某一數值后結果穩定[9]，增大了計算時間步。

圖3 水下橢圓筒和無限水域的有限元網格Fig.3 Finite elment mesh of submerged cylindrical ellipse and infinite water

圖4 無限元和SBFEM卷積積分、連分式的 橢圓環半短軸處徑向位移比較 Fig.4 Comparison of radial displacements at the minor axis of cylindrical ellipse obtained by infinite element method, SBFEM convolution integral and continued fraction method

圖5 不同時間步下的M=50 SBFEM連分式的橢圓環半短軸處徑向位移比較Fig.5 Comparison of radial displacements at the minor axis of cylindrical ellipse obtained by M=50 SBFEM continued fraction method using different time steps

表1 給出了SBFEM 卷積積分與高頻連分式模擬無限水域時響應計算時間。計算時間主要包括SBFEM卷積積分求解動態質量矩陣[2]和基于Newmark方法（14）式計算時間，不包括結構和有限水域的矩陣計算時間。連分式的計算時間明顯小于SBFEM 卷積積分的所用時間。即使自由度增加約5 倍時，其響應計算時間也只為SBFEM 卷積積分的一半，這說明連分式雖然一定程度上增加了分析自由度數，但其計算效率依然高于卷積積分。此外，表1 中計算時間看起來偏高主要是采用Matlab 語言實現（14）式求解而造成的。

表1 橢圓響應卷積積分與高頻連分式計算效率比較Tab.1 Computational efficiency comparison of cylindrical ellipse response between convolution integral and continued fraction

4.2 平面沖擊波作用下水下圓筒瞬態響應

考慮文獻[10]中分析的平面沖擊波作用下水下圓筒瞬態響應（見圖6）。該算例用來驗證利用SBFEM 高頻連分式模擬具有沖擊特點的無限水域的可行性。

圖6 平面沖擊波與水下圓筒Fig.6 Plane shock wave and submerged cylindrical shell

結構的幾何尺寸及沖擊波載荷等參數參考文獻[10]。水下圓筒殼用32 個兩節點梁單元離散，而整個無限水域離散成32 個半無限扇形水域，即結構表面處的32 個兩節點比例邊界有限元法單元，并利用高頻連分式模擬。時間增量Δt 為0.002 667 ms，分析終止時間為0.67 ms。結構與無限水域的相互作用采用文獻[10]流固耦合迭代算法進行分析。

圖7 給出了θ = 0°、90°和180°處圓筒平均半徑R 處法向速度vn，θ為圓筒外法向與水平軸的夾角，見圖6。圖7 中橫坐標和縱坐標均無量綱化，c 為水中的聲速，t 為時間。圖中Huang’s的級數解析解[11]、SBFEM卷積積分解[10]和不同階數M 的連分式的解接近，并隨著階數M 的增加三者結果逐漸逼近。值得注意的是只要增加1 階高頻連分式，其沖擊響應迅速逼近其它解，這說明了高頻連分式模擬高頻響應的合理性。

圖7 圓筒法向速度比較Fig.7 Comparison of normal velocities of cylindrical shell

表2 圓筒響應卷積積分與高頻連分式計算效率比較Tab.2 Computational efficiency comparison of cylindrical shell response between convolution integral and continued fraction

表2給出了利用SBFEM卷積積分與高頻連分式計算結構響應的時間。連分式的計算時間明顯小于SBFEM卷積積分的所用時間。隨著時間步數的增加，連分式所用時間的增加幅度遠小于SBFEM卷積積分幅度。

5 結 論

文中提出了高頻連分式與有限元法耦合公式并用其分析了兩個算例的瞬態響應。該方法具有以下特點：（1）無限水域離散小；（2）能正確模擬無限水域的能量吸收性；（3）高頻連分式可有效模擬無限水域的高頻響應，并通過增加連分式的階數有效提升其模擬中低頻響應的能力；（4）可有效提升分析時間步增量，并且計算效率高于SBFEM 卷積積分方法；（5）為含無限聲學水域的水下聲固耦合問題提供一種高效的分析方法。