周期性阻振質量船體板彎曲振動帶隙研究

李應剛，周 雷，朱 凌，張 超，郭開嶺

（1.武漢理工大學a.高性能艦船技術教育部重點實驗室，b.交通學院，武漢430063；2.湖北工業大學農機工程研究設計院，武漢430068）

0 引 言

隨著“海洋強國”戰略的不斷推進，海上交通行業蓬勃發展，船舶與海洋工程結構的振動噪聲問題日趨嚴峻，其減振降噪方法一直是業界關注的重點和難點。

定常結構發生突變（質量、剛度等），會引起結構的阻抗失配，對聲波起到很好的反射作用。因此，船體板結構聲傳遞途徑上人為敷設阻振質量的振動噪聲控制方法吸引了國內外學者的廣泛關注。Cremer 等人[1]最早提出阻振質量（Blocking mass）的概念，并對其阻波特性進行了分析。石勇等人[2]采用波動理論和試驗相結合的方法研究了含方鋼的鋼板結構中振動波的傳播特性，驗證了方鋼減振降噪的效果。劉洪林和王德禹[3]通過有限元法/邊界元法研究了阻振質量塊-板結構振動與輻射噪聲特性，探討了不同矩形截面形狀和不同圓環形狀參數對振動和聲輻射的影響規律。劉見華等人[4]研究了無限板上受點激勵時阻振質量對結構聲傳遞的阻抑，采用基于能量觀點的隔振度來定義阻振質量的阻抑作用。研究結果表明，板平面彎曲波分別和阻振質量的彎曲波和扭轉波達到最佳耦合時，平面彎曲波發生最大透射。江蘇科技大學研究團隊[5]研究了平板結構受點激勵時空心方鋼阻振質量對結構中振動波傳遞的阻抑特性，結果表明空心方鋼阻振質量比實心方鋼阻振質量結構的阻振效果明顯，并大幅度減少了附加質量。錢德進等人[6]利用波動理論的分析、處理方法，分析了多級平行阻振質量阻隔振動波傳遞的特性。

現有文獻雖然對阻振質量的隔振特性開展了大量研究，但是阻振質量的隔振機理仍然闡述不足，難以實現振動波衰減和隔振性能的人工主動調節和優化。本文以等間距多級阻振質量船體板結構為研究對象，根據固體晶格能帶理論結合Bloch周期性邊界條件，研究其彎曲振動帶隙特性，揭示了阻振質量的振動波衰減和隔振機理。

1 物理模型與計算方法

1.1 帶隙物理模型

周期性阻振質量船體板結構是通過含阻振質量單元沿著x方向在船體板等間距周期性排列而成，其結構示意圖如圖1所示。定義周期性原胞結構（紅色單元）的晶格常數為a，船體板厚度為e，寬度為b，阻振質量的寬度為L，高度為h。船體板和阻振質量都選取為鋼材料，材料參數定義為：彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7850 kg/m3，泊松比υ=0.33。

圖1 周期性阻振質量船體板結構示意圖Fig.1 Schematic of ship plates with periodic vibration blocking masses

1.2 帶隙計算方法

當實際結構只在一個方向上具有周期性時，通常將具有周期的方向取為x方向。可以得到描述在x方向傳播的彈性波的波動方程為

式中，λ和μ為材料的Lame彈性常數。

式中，E為材料的彈性模量；υ為材料的泊松比。

基于固體晶格能帶理論和Bloch 定理，周期性阻振質量船體板結構晶格具有周期性和點群對稱性，其本征場具有Bloch函數的形式，波動方程的本征函數是按照正格子周期性調幅的平面波：

Bloch理論說明，由于晶格的周期性和點群對稱性，通過引入周期邊界條件，可以將對于彈性波(的3)在整個晶格傳播行為的研究轉換到單個原胞及其不可約布里淵區中進行。對應Bloch 波矢k 在不可約布里淵區中的每一個取值，將Bloch周期性邊界條件代入彈性波波動方程就可以求解出一系列對應的本征頻率及本征函數，就可以繪制出聲子晶體的能帶結構圖[7-8]。對于有限周期結構，通常用結構激勵端和響應端之間的頻響函數來描述其傳輸特性。如果激勵端和響應端都取相同的物理量，頻響函數則為一個無量綱的比例系數，稱為傳遞率或透射率。

式中，a1為激勵端的物理量，a2為響應端的物理量。

2 周期性阻振質量船體板彎曲振動帶隙

2.1 周期性阻振質量船體板帶隙特性

為了研究周期性阻振質量船體板的彎曲振動帶隙特性和阻振質量的隔振機理，需要計算其能帶結構和頻響曲線。文中分別建立了船體單板結構和周期性阻振質量船體板結構的原胞有限元模型，選取結構參數如下：晶格常數a=120 mm，船體板的厚度e=2 mm，寬度b=200 mm，阻振質量的寬度L=30 mm，高度h=30mm。船體板結構左右兩端施加周期性邊界條件，其他均設置為自由邊界條件，沿著ΓX 方向波矢進行參數掃描，求解各個波矢下結構的本征模式和本征頻率，分別得到船體單板結構和周期性阻振質量船體板結構的能帶結構，結果如圖2（a）和2（b）所示，其中縱坐標為頻率，橫坐標為沿著不可約布里淵區邊界的歸一化的波矢。由板中的波動理論可知，有限厚度的板中存在一系列的反對稱和對稱Lamb 波模式（即板中縱波和彎曲波，分別表示為A 模式和S 模式），以及水平剪切（Shear horizontal，SH）波模式。從圖2（a）中可以看到，船體單板結構與二維有限厚度板結構能帶具有顯著差異，存在四條從零頻率出發的能帶，分別對應于縱波模式（L模式）、扭轉波模式（T模式）以及彎曲波模式（Bx 模式和By 模式）。它們包括四個基本的模式（即L0、T0、Bx0和By0模式）及其倍頻模式（Ln、Tn、Bxn和Byn模式，其中n=1，2，…）[8]。從圖2（b）中可以發現，周期性阻振質量船體板結構的能帶構圖中不僅存在著縱波模式（L模式）、扭轉波模式（T模式）以及彎曲波模式（Bx模式和By模式），同時還出現了大量的平直帶。平直帶結構是指在絕大部分波矢方向上，不同的波矢對應著相同的特征頻率，也就是說，不同方向、不同大小的彈性波場對應著相同的振動模式。能帶結構中存在平直帶，表明內部彈性波場存在局域化共振現象。相對于船體板結構而言，周期性阻振質量船體板結構在0～3 000 Hz 頻率范圍內產生了明顯的彎曲振動帶隙（圖2（b）中填充區域）。為了驗證周期性阻振質量船體板振動帶隙的存在，同時分析其有限結構的減振特性，計算得到了有限周期阻振質量船體板的頻率響應曲線，如圖2（c）所示。從圖中可以看出，頻率響應函數在0～3 000 Hz頻率范圍內存在明顯的衰減谷，衰減谷的位置和寬度與能帶結構圖中的禁帶位置和寬度吻合良好，證明了能帶結構計算的可靠性。

圖2 船體板結構彎曲振動帶隙特性Fig.2 Flexural wave band gap characteristics of ship plates

圖3 本征位移場Fig.3 The displacement fields of the eigenmodes

2.2 周期性阻振質量船體板振動帶隙機理

為了更深入直觀地說明周期性阻振質量船體板禁帶形成機理，文中計算了圖2 中禁帶邊界處的本征位移場，如圖3所示。圖中模態A、B對應于船體板無阻振質量時的本征位移場，模態C、D、E、F對應于含阻振質量船體板的本征位移場。由圖可知，模態A、B分別表示各向同性基板中的彎曲波Bx模式和By 模式。隨著阻振質量的引入，我們可以發現，模態C、D 的本征位移場主要是各向同性船體板的彎曲波Bx模式和By模式與阻振質量的局域共振模態的耦合，正是這種耦合作用導致了周期性阻振質量船體板中低頻彎曲振動帶隙的出現。阻振質量船體板的局域共振模態可以理解為一個單自由度的彈簧-質量模型，其中阻振質量起到集中質量的作用，而阻振質量與船體板的連接作用為彈簧。模態E和模態F的本征位移場分別對應于周期性阻振質量船體板能帶結構的平直帶，阻振質量幾乎保持靜止，主要體現為船體基板相對于y 軸的彎曲振動模式（By 模式），而船體板中沿著x 方向的彎曲振動能夠被抑制。因此，周期性阻振質量船體板的禁帶主要是由于阻振質量的引入導致帶隙頻率范圍內缺乏沿著x方向傳播的彎曲振動模式（Bx模式）而產生的。

2.3 彎曲振動帶隙試驗驗證

為了驗證周期性阻振質量船體板的彎曲振動帶隙特性，我們加工制備了樣品結構，對其有限周期結構的減振性能進行了實驗測試。根據禁帶特性的理論分析，設計了沿著x 方向周期排列的4×1 有限周期阻振質量船體板結構，如圖4（a）所示，實驗測試樣品的單元結構尺寸參數和材料參數與理論分析時所采用的完全相同。

圖4 測試樣件及試驗測試方案圖Fig.4 The test sample and the experimental measurement setup

實驗測試中主要采用了B&K PULSE 測試與分析系統。實驗過程中采用柔繩將測試樣品自由懸掛，確保懸掛系統的第一階固有頻率遠低于測試樣品本身的固有頻率。在樣件的一端安裝激振器施加垂直于有機玻璃板面的激勵，并在激勵點和板面另一端選取一個測試點安裝加速度傳感器，監測垂直于板面的振動加速度幅值。加速度傳感器型號為B&K 4507B，靈敏度為100 mV/g。由B&K PULSE測試系統產生0～3 200 Hz 帶寬的白噪聲信號，經過功率放大器驅動激振器產生相應的振動信號。安裝在板面兩端的加速度傳感器獲取的振動加速度信號經過B&K PULSE 測試系統分析和處理，最終得到測試樣件的頻率響應函數。

采用以上實驗測試平臺，測試得到有限周期阻振質量船體板結構樣品的頻率響應函數，結果如圖5所示。從圖中可以看出，周期性阻振質量船體板結構彎曲振動頻響特性曲線在0～3 000 Hz 頻率范圍內存在明顯的衰減區域，實驗測試結果的船體板彎曲振動衰減區域頻率范圍與有限元數值計算結果基本吻合，驗證了周期性阻振質量船體板結構彎曲振動帶隙特性。在低頻范圍內，實驗測試得到的各共振峰的頻率與有限元結果吻合得較好，而在較高頻范圍的共振峰值頻率有所差異，實驗測試結果的頻響特性曲線的衰減頻率范圍更寬，彎曲振動衰減量更大。誤差產生的原因主要是由于試驗測試樣品中阻振質量與船體板之間采用AB 膠粘接，而有限元計算中采用阻振質量與船體板直接固接，沒有考慮AB膠粘接層的影響。為了進一步分析AB膠粘接層的影響，建立含有AB膠粘接層的周期性阻振質量船體板有限元模型，得到其頻率響應特性對比如圖5 所示。由圖可知，含有AB 膠粘接層的周期性阻振質量船體板的彎曲振動頻響特性曲線與試驗測試結果基本吻合，AB膠粘接層的引入使周期性阻振質量船體板結構中形成了典型的局域共振彈簧質量動力吸振系統，導致船體板結構中局域共振模式增強，振動衰減量增大。

圖5 實驗測試頻率響應Fig.5 Experimental validation of frequency spectra

3 結構參數對彎曲振動帶隙的影響

為了研究彎曲振動帶隙的上下邊界頻率隨著結構尺寸參數的變化趨勢，保持船體板和阻振質量的材料參數不變，結構尺寸參數以圖2 的周期性阻振質量船體板結構為基礎進行實驗（晶格常數a=120 mm，船體板的厚度e=2 mm，寬度b=200 mm，阻振質量的寬度L=30 mm，高度h=30 mm）。圖6（a）為周期性阻振質量船體板的彎曲振動帶隙隨晶格常數的變化規律。從圖中可以看到，隨著晶格常數的增大，周期性阻振質量船體板的彎曲振動帶隙下邊界起始頻率和上邊界截止頻率均向低頻移動，帶隙絕對寬度逐漸變窄。從圖6（b）中可以看到，隨著阻振質量寬度的增加，周期性阻振質量船體板的彎曲振動帶隙下邊界起始頻率向低頻移動，而上邊界截止頻率向高頻移動，從而導致帶隙逐漸變寬。由圖6（c）可知，隨著阻振質量高度的增大，周期性阻振質量船體板的彎曲振動帶隙下邊界起始頻率逐漸向低頻移動，而上邊界截止頻率基本保持不變，帶隙寬度逐漸增加。綜合以上參數分析可知，要在低頻范圍內獲得更寬的禁帶，可以通過增加阻振質量的等效質量（如增加阻振質量的寬度和高度）或者增大周期結構的晶格常數來實現。根據參數影響分析，可以根據船海結構振動噪聲特性，實現周期性阻振質量船體板帶隙結構的主動設計和人工調制。

圖6 結構參數對帶隙的影響Fig.6 Effects of geometric parameters on the band gap

4 結 論

本文采用有限元法與實驗測試相結合的方法，研究了周期性阻振質量船體板結構中彎曲波傳播特性與振動帶隙機理。研究結果表明，周期性阻振質量船體板結構中存在彎曲振動帶隙，帶隙頻率范圍內的彎曲波在周期性阻振質量船體板中產生顯著的衰減，彎曲振動帶隙主要是由于阻振質量的引入導致帶隙頻率范圍內缺乏沿著x方向傳播的彎曲振動模式（Bx模式）而產生的。通過改變結構的材料和尺寸參數，可以有效實現振動帶隙人工調節和主動控制，為船舶與海洋工程結構的振動與噪聲控制提供了新的思路。