基于動剛度功率流法的組合板結構振動特性分析

鐘奎奎，李江濤，吳文偉，李 慧

（1.中國船舶科學研究中心，江蘇無錫214082；2.中國船舶及海洋工程設計研究院，上海200011）

0 引 言

船舶雙層底是以板架組成的典型船舶結構，包含有外底板、桁材、內底板等。雙層底的振動特性一直以來都是非常重要的研究課題，本文將雙層底視為板架的組合結構來研究。板殼結構的振動在低頻段以彎曲波為主，而目前對板殼振動的研究也主要集中于彎曲波，在高頻段，縱波的影響不可忽略，此時，在組合板結構間，彎曲波和縱波會發生波型轉換，從而使組合板結構的振動特性變得更為復雜。因此，以復雜板殼結構為特征的船體結構振動研究有很高的學術價值，受到國內外同行的持續關注。

長期以來，功率流方法（PFA）一直都是描述結構振動響應特性非常有效的方法[1-3]。振動的傳遞，本質上就是一種能量的傳遞。功率流能夠簡單有效地評估從能量源到接受者的能量傳輸。功率流包含力和速度幅值的大小，同時也考慮了它們之間相位的關系，直接給出振動傳遞的絕對度量值，是研究復雜板結構振動的有效方法。目前，對于功率流方法的研究，更多地集中于導納法上[1-2]，但是，這種方法在解決多個子結構的復雜組合結構的動力學問題時會很困難，隨著子結構數量的增加，整體結構的導納矩陣的組裝程序會變得非常復雜，有時甚至是無法組裝[3-4]。

動剛度法借用有限元法的剛度陣組裝策略來獲得組合結構的總體動剛度矩陣，避免了導納法中導納矩陣難以組裝的問題。而且，和導納法一樣，動剛度法只需要將整體結構離散成很少的子單元。因此，基于動剛度法研究組合板結構的功率流是很有前景的研究方向。

動剛度法已成功地應用于研究平板結構的面內振動和彎曲振動[5-6]，李慧[7]采用動剛度法時考慮了對邊簡支平板的面內振動和彎曲振動。Nefovska-Danilovic和Petronijevc[6]推導了任意邊界條件的矩形薄板的面內振動的動剛度法公式。

本文采用動剛度法，研究復雜組合板結構的功率流特性，同時計入了縱波、剪切波與彎曲波，提出基于動剛度法的功率流分析技術。首先分析了L 型板在均勻激勵下的位移空間分布及頻率響應，之后，分析了雙層底的振動響應及功率流，為工程中板結構的減振降噪提供了一定的指導依據。

1 動剛度法建模

1.1 平板模型描述

如圖1（a）所示為典型的組合板結構及全局坐標系OXYZ，各板之間剛性連接，相互之間的夾角分別為β1和β2，局部坐標系oxyz附于其上。為建立平板動剛度單元，從圖1（a）任取一個平板作為動剛度單元，如圖1（b）所示，該平板兩對邊簡支，由符號“S”表示，另外兩邊自由。為不失一般性，假定圖1（b）中平板尺寸為Lx×Ly，板厚為h。

圖1 典型組合板和對邊簡支矩形板Fig.1 Typical combination plate and rectangular plate with two opposite sides simply supported

1.2 局部坐標系下平板動剛度陣推導

根據薄板理論，圖1（b）中平板振動控制方程為

式中：u，v，w分別表示x，y，z方向的位移。

其中B為拉伸剛度，D為抗彎剛度，E為彈性模量，ρ為密度，μ為泊松比。考慮到能量損耗，用復彈性模量EC= E( 1 + i ?δ )代替彈性模量，其中δ = 2η，η為阻尼比。

對邊簡支矩形板的面內位移和彎曲位移可以寫成

相應地，平板邊界上的力和力矩可以表示成

為導出動剛度矩陣，需建立平板邊界上的位移和力向量之間的關系。位移和載荷暫寫成如下形式：

采用投影法，將（5）式在任意模態空間內投影，經過推導，可以得到局部坐標系下平板單元的剛度陣；之后采用有限元法單元組裝的方法，得到整體坐標系下的系統動剛度矩陣[7]。

2 功率流計算公式

假設分布力F ={ }

式中，V*是V的共軛復數。輸入功率可以被分為面內縱波、面內剪切波和彎曲波的共同作用。面內縱波引起的輸入功率可以表示成如下形式

面內剪切波功率流可以表示成

彎曲波相關的輸入功率為

如果將組合板結構沿著它們各自的連接邊界離散成一個個板單元，那么沿著連接邊界的內力可以被看成是板單元受到的外激勵力。當板與板的邊界振動響應求出來之后，內力F′可以根據（7）-（10）式推導得到。因此，從一塊板到另一塊板的傳輸能量可以表示成

3 數值結果及討論

3.1 數值驗證

如圖2所示，兩個相同的平板以120°角剛性連接在一起，其材料參數和幾何尺寸如表1所示。本次計算兩個工況，即在平板1的CD邊上分別受到垂向分布力和y向分布彎矩的簡諧激勵（單位幅值）。計算頻段為10-2 010 Hz，計算截斷項取N=10即可得到良好的結果[7]。

圖2 L型板計算模型Fig.2 Calculation model of L-shaped plate

表1 矩形板具體參數Tab.1 Geometry and material parameters of plate

如圖3所示，在均布激勵下，AR= Ly/3平板上R點的垂向位移DSM 計算值同有限元計算結果吻合良好。其中，在400 Hz 以內彎曲振動的峰值出現的頻率均高度一致，而隨著頻率的提高，峰值出現的頻率相差較大，主要原因在于隨著頻率的增高，有限元方法的計算不確定性逐漸增大，同時，DSM的截斷項取10 對高頻振動的模擬不夠充分。因此，忽略共振處出現的微小偏差，有限元計算結果和動剛度法計算位移曲線趨勢是一致的，且處在同一量級，計算結果吻合良好。

圖3 垂向分布力作用下點R的垂向振動位移曲線Fig.3 Vertical vibration at point R for the plates excited by uniformly distributed perpendicular forces

類似地，圖4 給出均布彎矩作用下，平板點R 的面內位移曲線，在400 Hz 以內面內振動幅值和有限元結果吻合良好，隨著頻率的提高兩者差異較大，但是趨勢一致。但是，需要說明的是，文中的雙板結構在受到激勵時，其內部同時存在面內振動和彎曲振動，而且兩者耦合。因此，圖3 和圖4 表明，動剛度法可以比較精確地模擬結構面內振動、面外振動及其耦合問題。

圖4 均布彎矩作用下R點的縱向振動位移曲線Fig.4 Longitudinal displacements at point R for the plates excited by uniformly distributed bending moments

同時，本文給出了在200 Hz時兩種不同激勵作用下的平板位移云圖。可以發現，通過動剛度法得到的振動位移云圖和有限元法吻合良好，有著相同的幅值峰值和谷值。這為后續深入研究復雜板結構的振動傳遞、波形轉換和波傳播規律提供了算法基礎。

圖5 垂向分布力作用下200 Hz時的振動位移云圖Fig.5 Displacement nephogram at 200 Hz for the plates excited by uniformly distributed transverse forces

圖6 均布彎矩作用下200 Hz時的振動位移云圖Fig.6 Displacement distributions at 200 Hz for the plates excited by uniformly distributed bending moments

3.2 功率流計算分析

首先計算圖2 所示L 型矩形板輸入功率流及輸出功率流，計算結果如圖7 和圖8 所示。圖7 給出了板1的輸入功率流曲線和板2的傳輸功率流曲線。可見，輸入功率流和傳輸功率流在共振頻率處同時到達了峰值；同樣地，在反共振頻率處，輸入功率流和傳輸功率流都同時達到了低谷。也就是說，當平板在共振頻率處被完全激勵時，結構中可以得到更多的振動傳輸能量，而且從圖7中我們還可以看到，在共振頻率處，幾乎所有的振動能量都被傳輸到板2，而在反共振頻率處，則是很少的一部分能量被傳輸到板2中。

圖7 垂直分布力作用下板的功率流Fig.7 Power flow results for plates driven by uniformly distributed perpendicular forces

圖8 均布彎矩作用下板的功率流Fig.8 Power flow results for plates driven by uniformly distributed bending moments

同樣地，圖8給出了外載荷為彎矩時的功率流曲線。同樣可以發現，輸入功率流和傳輸功率流在共振頻率處同時到達峰值。

除了研究板結構內的功率流之外，振動傳輸路徑在研究組合板結構的動力學特性中也有很重要的作用[8-9]。Feng等人[9]對一個梁-圓柱殼體結構中的功率流進行了研究分析，并且還對比了三種不同的能量傳輸路徑，并最終確定了最主要的傳輸路徑。基于動剛度法也可以對結構的能量傳輸路徑進行一個直觀的描述。

圖9 雙層底艙段模型Fig.9 Model of double-bottom tank

圖9 所示為一典型船舶雙層底結構的簡化模型，由19 塊板組合而成。計算其在上甲板，即板5中心受單位簡諧垂向點激勵作用下的結構功率流密度向量的幅值云圖。

圖10 為雙層底艙段模型的正視圖。雙層底長10 m，材料參數和表1所列出的一致。

圖11 為在頻率為200 Hz 時雙層底整體結構的功率流云圖。可見，除了板5 之外，很少有能量傳遞到其它板，因此板5 也是在此點激勵下振動控制的主要目標。為了更進一步研究功率流的傳播路徑，我們也可以作功率流的矢量分布圖。

圖10 雙層底艙段正視圖Fig.10 Front view of double-bottom tank model

圖12-13 分別為板5 及板4 的功率流矢量分布圖，由圖可知由于點激勵施加于板5的中心及結構的對稱性，各板的功率流分布也有著不同的對稱性。由圖12 可知，受力點處的功率流幅值在板5 中并不是最大的，而且在其周圍（圖12 中矩形框范圍內），功率流的傳輸方向都指向受力點。由圖13 可知，在板4 中，功率流的傳輸并不僅僅是由與受激板相連的邊向板其余各處傳播，在圖13 中矩形框范圍內的功率流也有著明顯的向外傳播的特性。這是因為功率流取決于內力和其速度響應幅值及其之間的相位角，當相位角小于90°時，功率流的符號為負，吸收能量；而當相位角位于90°和180°之間時，功率流的符號為正，輸出能量。

由以上分析可知，動剛度功率流法能夠研究整個模型中功率流的傳播路徑，可為結構的減振降噪提供直觀的理論依據。

圖11 雙層底功率流云圖Fig.11 Power flow diagram of double bottom

圖12 板5功率流矢量圖Fig.12 Power flow vector diagram of plate No.5

圖13 板4功率流矢量圖Fig.13 Power flow vector diagram of plate No.4

4 結 語

本文基于動剛度功率流法，并且將板的面內振動和面外振動同時考慮在內，分析了組合板結構的振動特性，為進一步深入研究板與板之間的波型轉換打下了堅實的理論基礎。本文通過對兩個具體模型進行數值分析，充分研究了復雜組合板結構內的功率流特性以及能量傳輸路徑等問題。與基于導納法的功率流分析方法[1-3]相比，基于動剛度法的功率流分析方法更加適用于復雜組合結構的動力學特性研究，因為與傳統的有限元方法一樣，整體結構的總體動剛度矩陣可以通過簡單直接的方法進行組裝。