“杯中球”的奧秘

卓西咔

周末，阿才和爸爸去了公園。

“那是什么？”阿才突然問道。不遠處一個熱鬧的游戲攤位引起了父子倆的注意。只見這個攤位前面立了一塊木板，上面寫著三個大字——杯中球。

攤主解釋道：“我有三個外觀相似且不透明的杯子，將它們倒扣放置，再將一個小球放進其中一只杯子里。然后我會移動杯子十次甚至更多次，若你最后能猜出小球在哪個杯子里，你就能獲得獎品。”

“那我要試一試！”阿才饒有興趣地走上前。然而游戲并不簡單。由于攤主移動杯子的速度太快，就算阿才一開始緊盯住有球的杯子，他也會在攤主第八次移動杯子的時候“跟丟目標”。

這可讓阿才犯了難：“既然這樣，就只能靠猜了。隨機選一個杯子，猜中的概率是1

3。有什么方法能提高我猜中的概率呢？”

爸爸笑著將他拉到一旁說：“無論移杯子的人如何遵守設計好的移動規則，他都會受到一點個人習慣的影響。所以里面有球的那只杯子變換的位置，會存在一定的規律。你不妨先好好觀察、計算，猜對的概率可能會大大提高。”

我們把阿才面前從左往右的三只杯子所在的位置分別記為1，2，3，用Pab（n） 代表移動n次后，在杯子中的球從位置a移到位置b的概率。例如：P12（1）是球從左邊的位置1移到中間的位置2的概率;P22（1）是指移動一次杯子后，球仍在中間位置沒有動的概率; P13（2）是指移動兩次杯子后，球從左邊位置1移到右邊位置3的概率。

Pab（1）無法直接得到，我們可以用“頻率=頻數

總次數”來進行計算。比如，假設最開始球在左邊的杯子里，在100次的移動杯子中，“球沒有移動”發生了10次，“球從位置1移到了位置2”發生了60次，“球從位置1移到了位置3”發生了30次，那么有：P11（1）≈10

100， P12（1）≈60

100，P13（1）≈30

100 。

阿才經過觀察，將總結的規律按順序寫成如下形式：

假設球在第n次移動中的位置只與第（n-1）次移動中的位置有關，而與第1，2…n-2次轉動中的位置無關，根據矩陣A以及遞推公式Pij（n）=Pi1（n-1）×

P1j（1）+Pi2（n-1）×P2j（1）+Pi3（n-1）×P3j（1）（n=2;i，j=1，2，3），我們可以得到A2 ：

從矩陣A2我們可以很直觀地看出：

（1）若球原本在左邊的杯子里，移動2次后有66%的概率位置不變。

（2）若球原本在中間的杯子里，移動2次后有50%的概率位置不變。

（3）若球原本在右邊的杯子里，移動2次后有82%的概率位置不變。

如果我們隨機猜測球的位置，有1

3≈33.3%的概率能猜對。若用總結的規律來猜測，能將猜對的概率提高16.7%到48.7%。

阿才一臉竊喜地去重新挑戰，他發現猜對的概率果然大大增加了。攤主也覺察到了，于是他開始增加游戲難度：將杯子數目增加至4只，每局游戲杯子移動的次數增加至11次。阿才站在一旁觀察了很久，他又得出了以下規律：

根據矩陣A以及遞推公式：

Pij（n）=Pi1（n-1）×P1j（1）+Pi2（n-1）×P2j（1）+Pi3（n-1）×P3j（1）+Pi4（n-1）×P4j（1）（n=2，3;i，j=1，2，3，4）

可以依次得到矩陣A2和 A3：

根據矩陣A3我們可以很直觀地看出：

（1）若球原本在左數第一個杯子里，移動3次后有48.4%的概率位置不變。

（2）若球原本在左數第二個杯子里，移動3次后有49%的概率位置不變。

（3）若球原本在左數第三個杯子里，移動3次后有49.7%的概率位置不變。

（4）若球原本在右數第一個杯子里，移動3次后有43.3%的概率位置不變。

如果我們隨機猜測球的位置，有1

4=25%的概率能猜對。若用總結的規律來猜測，能將猜對的概率提高18.3%到24.7%。

從“杯中球”這個游戲里，阿才領悟到：生活中存在著許多充滿變數的“謎題”，我們要多去發現“謎題”中的知識和規律，才能收獲更多樂趣喲！