巧用“濃度三角”快速解題

黃旭軍

“最近作業本上出現了一類計算量非常大的題目，大家解題要花費很長時間！”數學課代表說完，嘆了口氣。

數學老師看了看題目，一臉哭笑不得的樣子：“你們用列方程來解題，雖然省力，但會花很多時間！我今天帶來的‘秘方專‘治這類題目。”

數學老師說完，便在黑板上寫了些題目。

例1 有濃度為20%的鹽水300克，要用它配制成濃度為40%的鹽水，需要濃度為70%的鹽水多少克？

已知有濃度為20%的鹽水300克，向其中加入70%的鹽水后，濃度會有所增加。要配成濃度為40%的鹽水，這里加入的鹽水質量未知，配好后的鹽水總質量也未知，解題難度比較大。

未知條件多的時候，我們可以用列方程來解決問題。

解：設需要濃度為70%的鹽水x克，配好后鹽水的總質量就是（300+x）克。根據鹽水中所含鹽的總量不變，可得：

300×20%+70%x=（300+x）×40%

60+0.7x=120+0.4x

0.7x-0.4x=120-60

0.3x=60

x=200

答：需要濃度為70%的鹽水200克。

不過，列方程解題的計算過程有些麻煩，我們來試試“濃度三角法”。

第一步：如下圖，畫出一個三角形，把已知條件中的數據寫在三角形的三個頂點上。

第二步：分別算出寫在頂點上的數據，與左右兩個數據的差。

第三步：構造等量關系，找出兩個差之間的比例。

20%×3=30%×2

也就是說，需要濃度為20%的鹽水3份，需要濃度為70%的鹽水2份。

第四步：根據上面的份數，求出最終結果。

300÷3×2=200（克）

答：需要加入濃度為70%的鹽水200克。

例2 一次數學比賽中，甲隊成績的平均分是78分，乙隊成績的平均分是72分，兩隊同學成績的平均分是73.5分。我們又知道乙隊比甲隊多6人，那么乙隊有多少人？

甲、乙兩隊總成績的平均分乘以兩隊總人數，等于甲隊的平均分乘以甲隊的人數，加上乙隊的平均分乘以乙隊的人數。

根據題目中所給的已知條件，我們可以先用列方程的方法，來解決這個問題。

解：設甲隊有x人，那么乙隊則有（x+6）人。

78x+72×（x+6）=73.5（x+x+6）

150x+432=147x+441

150x+432-147x=147x+441-147x

3x+432-432=441-432

x=3

知道了甲隊的人數，我們可以進而求得乙隊的人數為x+6=3+6=9（人）。

答：乙隊有9人。

當然，這道題我們還可以用“濃度三角”來解答。

第一步：如下圖，畫出一個三角形，把條件中的已知數據寫在三角形的三個頂點上。

第二步：算出左右兩個數據的差。

第三步：構造等量關系，找出兩個差之間的比例。

4.5×1=1.5×3

78的1份等于72的3份，兩者相差3-1=2（份），2份就是相差的是6人，所以每份那3人。72的3份就是3×3=9（人）。

答：乙隊有9人。

訓練一二一

六年級兩個班共有學生100人，其中男生占47%，一班男生占全班人數的35%，二班男生占全班人數的55%，兩個班各有多少人？