對一道四面體體積最值題的探究

安徽省寧國中學 (郵編：242399)

圖1

圖2

圖3

高三數學一輪復習進行得如火如荼，不知不覺已復習到立體幾何．在習題課上，一道有關四面體體積的最值題讓筆者在評講時遇到了極為少見的尷尬，課堂一度“冷場”！幸虧有聰明的學生“施救”，“撥開云霧重見天日”，才不至于讓真理掩埋在筆者的無知或不負責任之中．課后筆者唏噓不已，從心底真切感受到教學真得需要研究，否則肯定要誤人子弟！

題目(《步步高大一輪復習講義》配套《課時作業》(理科)第308頁第16題[1])如圖1，在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體P-BCD的體積的最大值是．

參考答案 設PD=DA=x,在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，所以AC=

1 課堂實錄

1.1 探究1(結論1)

(首先在黑板上展示題目，給時間讓學生思考．)

教師：誰來談談你是怎么認識這個問題的？

(平時一直是心直口快的聶同學首當其沖，他舉手了．)

學生1：我認為這其實是一個折疊問題，相當于把一個頂角∠ABC為120°,底角為30°的等腰三角形的一個底角∠A折起(其中折痕BD過頂點B)，這樣形成一個四面體，求這個四面體體積的最大值．

教師：很好，了解了我們要解決的問題是什么，才有研究目標．那到底應該怎樣求這個最大值呢？研究方向是什么？

學生2：我覺得應該將問題轉化為一個函數問題，求函數的最大值．可是我不知道應該以什么為自變量較好？

教師：那你看看是什么引起了四面體體積的變化？請大家動手剪一個符合條件的等腰三角形紙片，親自沿不同的位置折疊看看．

(班上同學馬上忙碌起來．很快有了結果．還是剛才發言的李同學．)

學生2：我知道了，位置的不同其實就是折痕BD的不同，而點B固定，引起折痕BD變化的是點D,當點D從點A向點C移動時，折痕隨之變化，折痕BD的長度應該是先變小后變大，所以我猜所求四面體體積可能是當點D為線段AC中點時最大．

教師：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，一動手就找到了問題的根源．數學上一些重大的發現就是從猜想開始的，同學2的猜想對嗎？從理論上能證明嗎？到底以什么為自變量較好？

否則，若以折痕BD的長為自變量，也能由正弦定理或余弦定理求其它線段的長或底面面積，則可能要麻煩一點．

教師：分析有道理，四面體底面面積表示出來了，那么高應該如何表示呢？

(此時課堂變得異常安靜，個個陷入沉思之中！過了一會兒，還是沒人舉手，筆者只好直接把答案中的結論告訴學生)

(筆者講完后，課堂依然沒有太多聲音，大家都露出疑惑的眼神．筆者也感覺有點不對勁．顯然像答案這樣簡單的“給出”學生不能接受．再次讓學生用手中的三角形紙片折疊看看……)

1.2 探究2(結論2)

學生4：顯然只有當面PBD⊥面BDC時，高才可能取最大值．通過折疊發現，只有點D為線段AC中點時才有PD⊥面BCD,否則PD和面BCD斜交，當點D過了中點繼續移動，顯然四面體的底面△BCD的面積變小，但是斜線段PD變長，因此高可能變大，兩者之積不一定變小呀？

(學生4的提問可能代表了絕大多數同學的疑惑，筆者課前也沒有仔細研究這道題，他的提問也把筆者問蒙了，筆者一時感到很尷尬，思考片刻，終于有了突破．)

(當筆者講完才感到松了一口氣，總算化解了課堂上的尷尬局面，覺得答案給得太簡單、模糊，自己的解釋才是最到位的．這時課堂才有了一些聲音，筆者也準備告一段落，進入下一題．不料班上有名的數學王子何同學舉手了，筆者也覺得有點吃驚，難道還有什么問題嗎？不會吧？)

1.3 探究3(結論3)

學生5：我覺得線段AD的長x與線面角θ應該有關．如圖2所示，因為令∠PDO=θ,則∠BDC=θ,因為它們分別是∠BDP、∠BDA的補角，而∠BDP=∠BDA(看成折疊問題時它們其實為同一個角)．

(他的話讓大家十分吃驚，不由自主地為他響起了掌聲．他的這個發現極為關鍵．)

教師：了不起！我還真沒有發現這個結論．那同學們再看看它們到底有什么關系？四面體的體積到底該如何求解？

教師：太厲害了！原來線段AD的長x與線面角θ確實有具體的函數關系，然后利用消元思想，將四面體的體積轉化為以線面角θ為自變量的函數，運用導數工具解決問題，一氣呵成！

(學生6感到很得意，有不少同學向他投去贊許的目光，同時課堂上仍然顯得不是很安靜，仍有一些討論的聲音，不一會兒又有人舉手了)

1.4 探究4(結論4)

教師：真是一波三折，終于大功告成！我們班真是人才濟濟啊！我和你們在一起，也學到了很多，真是教學相長啊！

(由于意外“插曲”，本節課沒有完成預定教學任務，但是筆者覺得很值得．)

2 教學感悟

對于立體幾何的學習，筆者覺得既要學好坐標法，也要學好綜合法．有些圖形不好建系，那只有用綜合法；有些圖形雖然好建系，但是運算復雜，不如用綜合法來得快．因此，我們不能忽視綜合法．像本題用坐標法就比較麻煩．對于立體幾何的學習，還要重視平面幾何知識的學習，因為空間問題通常轉化為平面問題來解決．有部分同學就是因為平面幾何知識不過關而嚴重影響了立體幾何的學習．對于立體幾何的學習，要重視基礎，吃透教材上的定理、性質，同時學會應用它們解決問題．教師在教學中要注重提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養．扎扎實實練好基本功，以不變應萬變．

解題，需要研究．通過解題研究挖掘題目背后蘊藏的數學觀點、數學思想，透過現象認識本質．解題研究既是高中數學教師必備素養與能力，也是教學研究的重要組成部分．解題研究的最終目的是為了學生的學，幫助學生走出題海，提高效率，減輕學生負擔．這件事給了筆者很大觸動，筆者在想，如果不是課堂上有學生“搭救”，筆者不就誤人子弟了嗎？看來，當老師不是一件容易的事，更不是一件隨意的事，看到答案對的就誤以為對的那是不負責任的行為，很容易犯錯．要當好老師，確實需要不斷學習、研究、思考．上海市七寶中學的文衛星老師講得很對，“一個人在事業上能走多遠，取決于他的學習能力和是否能持之以恒．筆者學習的主要渠道是閱讀書報雜志、向同行學習并爭取與之切磋交流、與學生交流反思．”筆者覺得自己應該以文老師為榜樣，加強學習與研究[2].

葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程”[3].陶哲軒在《解題·成長·快樂》序言中引用古希臘哲學家普羅克洛斯的話：“這，就是數學：她提醒你靈魂有不可見的形態；她賦予自己的發現以生命；她喚醒悟性,澄清思維；她照亮了我們內心的思想；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知……”[4].筆者以此與各位同仁共勉！在數學中讓我們永遠帶著探尋的目光審視眼前的一切，一定會有驚喜出現！