同構法在數學解題中的應用

湖北省大冶市第一中學 (郵編：435100)

在求解一些數學問題中,往往會出現一些除變量外完全相同的結構,解題時若能利用其同構的特點,尋求與問題的某種內在聯系,繼而利用同構后的模型性質進行解題,是一種非常重要的方法.本文談談同構法在數學中的應用.

1 妙用同構求解方程

例1 解方程log5(3x+4x)=log5(5x-3x).

評注本題利用同構思想,轉化為零點問題來求解.如果f(a)=0和f(b)=0呈現同構特點,則a、b可視為方程f(x)=0的兩根.

2 妙用同構求解方程組

例2 設x、y∈R,滿足

求x+y.

解析原方程組變形為

構造函數f(x)=x5+2x+sinx,易知函數f(x)為奇函數,且在R上單調遞增,而f(x-1)=f(1-y),故有x-1=1-y,則x+y=2.

評注本題研究對象并非x、y,而是(x-1)、(y-1),進而變形為

觀察上下式子結構相同,可構造函數解決.

3 妙用同構求值

4 妙用同構找等量關系

例4(2009年高考遼寧理科12題)若x1滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x-1)=5,x1+x2=( )

評注一般對于互為反函數的兩個函數的圖象與直線的交點問題可用同構獲得零點間的關系.

5 妙用同構求解不等式

例5(2007年高考天津文科10題)設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)=x2,若對任意的x∈[t，t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實數t的取值范圍是( )

評注本題通過恰當變形,利用同構思想,借助函數的單調性去掉“f”,從而解抽象函數不等式問題.

6 妙用同構證明不等式

例6(2001年高考全國卷理20題)已知i、m、n是正整數，且1(1+n)m.

評注本題通過將式子同構化,化為具有統一函數模型的兩個式子,從而利用單調性證明.

7 妙用同構求解超越方程

(1)求證：函數f(x)有唯一零點；

(2)若對任意x∈(0，+∞)，xex-lnx≥1+kx恒成立，求實數k的取值范圍.

證明(1)略；

8 妙用同構求參數范圍

例8 (2010年高考遼寧文科21題)已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；(Ⅱ)若對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的范圍.

解析(Ⅰ)略；

(Ⅱ)不妨假設x1≥x2,而a<-1，由(Ⅰ)知在(0，+∞)單調減少，從而?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,等價于?x1、x2∈(0,+∞),

f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1

①

評注本題中觀察到待證的不等式f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1兩邊有相似的結構，不妨構造函數g(x)=f(x)+4x,然后利用此函數的性質尋求突破口.

9 妙用同構求解解析幾何

同構化解題意識與技巧是一種常見的解題思路，在解題過程中，如果能看清問題中式子結構的共性，并合理構造共性，則可大大簡化問題，從而輕松解決問題.