“兩邊夾”在高中數學中的應用

浙江省杭州第十四中學鳳起校區 (郵編：310006)

“兩邊夾定理”源于大學數學分析中求數列或函數的極限，但其思想方法在初等數學中也有廣泛的應用，本文將從代數和幾何兩方面來談談“兩邊夾”在高中數學中的應用.

1 “兩邊夾”在代數方面的應用

1.1 任意實數都夾在兩個相鄰整數之間

分析從題目中給出的定義可知，可令{x}=m,m∈Z,則m-1

1.2 實現等式向不等式的轉化

引理a=m?m≤a≤m?(a-m)(m-a)≥0.

從上述原理，可知等式的問題，借助“兩邊夾”原理用不等式來等價轉化，實現等與不等的辯證統一.

例2 (2012年浙江高考理科數學試題)設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=______.

分析a為一個實數，是等式問題，可設a=m,借助“兩邊夾”用不等式來刻畫.于是已知不等式可視為關于a的一元二次不等式，且由引理可知兩因式a-m,m-a互為相反數，即(a-1)x-1與x2-ax-1互為相反數，于是本題可得如下簡便解法.

解已知不等式等價于[ax-(x+1)][(x2-1)-ax]≥0,于是只需令

[ax-(x+1)]+[(x2-1)-ax]=0,即x2-1-(x+1)=0,從而x2-x-2=0,故x=2或-1,注意到x>0,所以x=2.將x=2帶入已知不等式可得(2a-3)(3-2a)≥0,

例3 設二次函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),f(1)=0,且1≤x≤3時，f(x)≤0恒成立，f(x)是區間[2,+∞)上的增函數，求函數f(x)的解析式.

分析從題目結果來看，b、c是具體的常數，而從已知條件來看，b、c只能通過不等式來限定，所以必定是通過“兩邊夾”來求出實數b、c.

解由f(1)=b+c+1=0可得b=-c-1，

又因為1≤x≤3時，f(x)≤0恒成立，所以f(3)=9+3b+c≤0，

故9+c-3(c+1)≤0,即c≥3,

所以c≤3，故3≤c≤3,所以c=3，b=-4,f(x)=x2-4x+3.

2 在幾何方面的應用

例4 (2012年浙江高考理科數學試題)設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=______.

分析條件可化為[ax-(x+1)][(x2-1)-ax]≥0,可考慮三個函數y=ax,y=x+1,y=x2-1的圖象的位置關系.

解[ax-(x+1)][(x2-1)-ax]≥0?[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0,即

圖1

圖2

圖3

記A(5,2),B(4,-2),C(4,2),D(5,-2),則當線段為AB時，kAB=4,AB直線方程為y=4t-18,6a+b=f(6)≤4×6-18=6,(6a+b)max=6；

當線段為CD時，kCD=-4,CD直線方程為y=-4t+18,

6a+b=f(6)≥-4×6+18=-6,故本題還可求出6a+b的取值范圍是[-6,6]

圖4

分析去掉絕對值，可知為“兩邊夾”類型.

圖5

證法一|x2-kx-m|≤1?|(kx+m)-x2|≤1?-1≤kx+m-x2≤1?x2-1≤kx+m≤x2+1,于是想到形上的兩邊夾.分別畫出y=x2-1,y=x2+1,y=kx+m的圖象，且y=kx+m夾在y=x2-1,y=x2+1兩個圖象之間，屬于“夾縫”類型，如圖5.

圖6

證法二由|x2-kx-m|≤1,可得-1≤x2-kx-m≤1，這說明二次函數y=x2-kx-m夾在兩直線y=-1和y=1之間，且y=x2-kx-m的開口大小固定，形狀固定，欲使b-a最大，則y=-1必與y=x2-kx-m相切或在其下方(如圖6)，這時由x2-kx-m=-1有x2-kx-m+1=0,

△=k2-4(-m+1)=k2+4m-4≤0,故k2+4m≤4.

另一方面，由y=x2-kx-m和y=1聯立得x2-kx-(m+1)=0,

(1)當a=-3時，寫出函數f(x)的單調區間(不要求證明)；

(2)若對于任意的x∈[0,2]∩D，均有f(x)≥kx2成立，求實數k的取值范圍.

分析對于(2)，可考慮去掉平方，轉化為一個簡單的函數夾在兩個熟悉的函數之間，使用“兩邊夾”畫圖處理，這樣更簡潔直觀.

解(1)略；(2)當k≤0時，顯然成立；

圖7

從上面的例題分析及解答可看出，“兩邊夾”在代數和幾何兩方面都有著廣泛的應用.

從代數上看，它可實現等式向不等式的轉化，豐富了我們的解題思路，擴充我們的視野；從幾何上看，很多問題，先通過代數變形，轉化為我們熟悉的函數，然后通過畫圖，發現問題的幾何背景(可能是“夾緊”類型，也可能是“夾縫”類型)，這樣解題將非常直觀，大大降低問題的難度，提升學生的數形結合能力，發現數學的幾何之美，有利于培養學生的數學核心素養.