錯在哪里

北京豐臺二中

甘志國 (郵編：100071)

題目(2017年高考浙江卷第15題)已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

解由題設，可得

由|a+b|≥0,|a-b|≥0知，可設

解答錯了！錯在哪里？

也就是說，用上述方法難以求出|a+b|+|a-b|的最小值.

下面再給出本題的五種解法.

圖1

A是半徑為1的圓⊙O上的一個動點，構造兩個全等的AOBD及ECOA,可得|a+b|+|a-b|=|AB|+|AC|.

所以

(|a+b|+|a-b|)2=[|(1+2cosθ,2sinθ)|+|(1-2cosθ,-2sinθ)|]2

再由cos2θ∈[0,1],可得答案.

類題已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=2,則2|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

=5(|a|2+|b|2)+6|a||b|cosθ+

(θ是向量a、b的夾角)

可設t=4cosθ(-4≤t≤4),得

令f′(t)=0,可得t=3.再由f(-4)=25,f(3)=50,f(4)=49,可得f(t)min=25,f(t)max=50,所以

(2|a+b|+|a-b|)min=5,

所以

接下來，同解法1.

(2|a+b|+|a-b|)2=[2|(1+2cosθ,2sinθ)|+|(1-2cosθ,-2sinθ)|]2

接下來，同解法2.

2合肥師范學院數學與統計學院

趙玉華(郵編：230601)

高等教育出版社《概率論與數理統計》(俗稱盛驟版)第一章習題第24題如下：

有兩箱同類的零件，第一箱裝50只，其中10只一等品，第二箱30只，其中18只一等品.今從兩箱中任意挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣.求：

(1)第一次取到的零件是一等品的概率；

(2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率.

配套的習題全解指南上給出的解答：

解答錯了！錯在哪里？

第(2)個問題，明顯是分類討論問題，而并不是用逆概公式的思路.這個問題中，事件A1和A2的含義各有兩層：分別表示取第一箱和第二箱情況下的第一次取件和第二次取件.這樣沒有區分的事件A1和A2之間能有先后的順序關系么？顯然沒有！取第一箱的事件A1不可能導致取第二箱的A2這個結果.而在解答中卻把這兩種意思揉和在了一起，首先對所求問題的表述就不對了；接著又不加以區分地運用條件概率定義和乘法原理，更是錯上加錯！所以只能按取到第一箱還是第二箱來分類，討論對應的A1和A2.

正確解法如下：

P(A2|A1)=P(H)P(A2|A1H)

從中學生的視角，這個問題運用加法原理和乘法原理進行分類再分步，其實很容易解決.但是給大學生從高等數學的角度，特別是死板地套用貝葉斯(逆概)公式，反而做了錯誤分析.這種錯誤解法流行在許多高等數學教材和習題冊中，需要引起重視.這也啟發了我們的數學教學：引導學生在做題時對公式的產生背景和使用范圍思考，而不是看到問題的表面相似就去機械地湊、套公式，這樣必然會出現荒謬的結果.