“線性型”數列互嵌問題的解法探究

陜西省商丹高新學校 (郵編：726400)

1 系數交錯，目標明確型

例1(2019年高考全國Ⅱ卷理科第19題)已知數列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.

(1)證明：{an+bn}是等比數列，{an-bn}是等差數列；

(2)求{an}和{bn}的通項公式.

分析1 (1)可通過題意中的4an+1=3an-bn+4以及4bn+1=3bn-an-4，對兩式進行相加和相減，即可推導出數列{an+bn}是等比數列以及數列{an-bn}是等差數列.(2)可通過(1)中的結果推導出數列{an+bn}以及數列{an-bn}的通項公式，然后利用數列{an+bn}以及數列{an-bn}的通項公式即可得出結果.

將4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4作差可得4an+1-4bn+1=3an-3bn+an-bn+8,整理可得an+1-bn+1=an-bn+2.

又a1-b1=1,故{an-bn}是首項為1,公差為2的等差數列.

①

由{an-bn}是首項為1,公差為2的等差數列可得an-bn=2n-1

②

點評該解法依據兩個遞推式的特點，并結合(1)的目標，利用兩式相加和相減運算，先從整體上證明數列是等比或等差數列，然后再求得個體數列的通項公式的.

分析2 (1)要證明{an+bn}是等比數列，只要證明存在非零常數q，使得an+1+bn+1=q(an+bn)即可；要證明{an-bn}是等差數列，只要證明存在常數d，使得an+1-bn+1=(an-bn)+d即可.運用待定系數法證明.

令4d=8,得d=2,所以an+1-bn+1=an-bn+2.

又a1-b1=1,故{an-bn}是首項為1,公差為2的等差數列.

(2)同解法1.

點評該解法依據(1)的目標，利用兩式相加和相減運算，先從整體上證明數列是等比或等差數列，然后再求得個體數列的通項公式的.

分析3 從代數方程的角度，聯立兩個遞推式將其看成是二元一次方程組，通過消元降維分別得到單個數列的遞推關系，再進行求解.

解法3(消元降維法)由4an+1=3an-bn+4,得bn=-4an+1+3an+4,所以bn+1=-4an+2+3an+1+4.

代入4bn+1=3bn-an-4,得4×(-4an+2+3an+1+4)=3×(-4an+1+3an+4)-an-4,整理得

解法4(消元降維法)由4bn+1=3bn-an-4,得an=-4bn+1+3bn-4,所以an+1=-4bn+2+3bn+1-4.

以上各式相加，得bn-b1=

an=-4bn+1+3bn-4=

點評解法3和解法4其實是同一種方法，不同的是以哪個單數列為主來求解.在求解的過程中還運用到了“累加法”求和，同學們需好好體會.消元降維法是求解這類遞推數列問題一般性的方法.

2 系數交錯，目標不明型

例2 已知數列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,4an+1=3an+bn+4,4bn+1=3bn+an+4.求{an}和{bn}的通項公式.

簡析由于該變式沒有了像例1(1)那樣的的目標結論的過渡，所以不方便用待定系數法求解，而運用加減運算法或消元降維法求解都可，請讀者自行完成.

例3 已知數列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,an+1=5an+3bn+7,bn+1=5bn+3an,求{an}和{bn}的通項公式.

簡解對于該題，由于系數相對要復雜一些，所以利用加減運算法求解較好.

兩式相加，整理得an+1+bn+1+1=8(an+bn+1),所以數列{an+bn+1}是首項為a1+b1+1=4,公比為8的等比數列，故得an+bn+1=4·8n-1.

兩式相減，整理得an+1-bn+1+7=2(an-bn+7),所以數列{an-bn+7}是首項為a1-b1+7=8,公比為2的等比數列，故得an-bn+7=8·2n-1.

從而解得an=2·8n-1+4·2n-1-4,bn=2·8n-1+4·2n-1+3.

當然，利用消元降維法也可以求解，讀者不妨自行完成.

3 系數無關型

例4 已知數列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=5,an+1=-2an+bn+2,bn+1=3bn-4an+4,求{an}和{bn}的通項公式.

分析由于兩個遞推式中的系數沒有關系，可從代數方程的角度，利用消元降維法求解.

解(消元降維法)由an+1=-2an+bn+2,得bn=an+1+2an-2,所以bn+1=an+2+2an+1-2.

代入bn+1=3bn-4an+4,得an+2+2an+1-2=3(an+1+2an-2)-4an+4,整理得an+2-an+1-2an=0,即an+2+an+1=2(an+1+an),所以數列{an+1+an}是首項為a2+a1=6,公比為2的等比數列，故得an+1+an=6·2n-1=3·2n.

所以an+1-2n+1=-(an-2n),所以數列{an-2n}是首項為-1,公比為-1的等比數列，所以an-2n=(-1)n,從而得an=2n+(-1)n.

所以bn=an+1+2an-2=2n+2+(-1)n-2.

點評該題在運用消元降維法求解轉化的過程中，兩次 “配湊”構造等比數列，需要有較高的數學抽象、數學運算和數學建模等數學核心素養.

至此，遞推式形如