分析考題 追問缺失

江蘇省板浦高級中學(xué) (郵編：222241)

數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是極為重要的，嚴(yán)謹(jǐn)性也是人們對數(shù)學(xué)的一種普遍認(rèn)識．為了便于他人的理解、便于交流、便于研究的深入，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性才變得異常重要．[1]嚴(yán)謹(jǐn)性的功能在于解釋知識．許多學(xué)生只關(guān)注解答題的最后的結(jié)果，往往忽視中間的推理過程的規(guī)范性與嚴(yán)謹(jǐn)性，最后導(dǎo)致答題的不完整而失分．這也暴露出部分考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)沒有很好達(dá)成．邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)．[2]

1 題目

圖1

(2019年江蘇高考卷18題)如圖1，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑)．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA,規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD(C、D為垂足)，測得AB=10,AC=6,BD=12(單位：百米)．

(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；

(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d(單位：百米)，求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力．本題為實(shí)際應(yīng)用問題，背景清晰明了，求解方式開放．要求考生能合理運(yùn)用所學(xué)知識、思想方法，構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型解決問題，讓考生有較大的發(fā)揮余地，更能顯示出考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．

圖2

2 解法探究

2.1 官方標(biāo)答

解法一：

(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.因?yàn)锽D⊥l,AC⊥l,所以四邊形ACDE為矩形．

因此道路PB的長為15百米．

(2)①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)(除B,E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求．

綜上，P和Q均不能選在D處．

(3)先討論點(diǎn)P的位置．

當(dāng)∠OBP>900時(shí)，在△PP1B中，PB>P1B=15.由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置．

圖3

解法二：

(1)如圖3，過O作OH⊥l,垂足為H.

(2) ①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E(-4,0),則EO=4<5,所以所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求．

②若Q在D處，連結(jié)AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),

即線段AD上存在點(diǎn)到O的距離小于圓的半徑．因此Q在D處也不滿足規(guī)劃要求．綜上，P和Q均不能選在D處．

(3)先討論點(diǎn)P的位置．

當(dāng)∠OBP<900時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)∠OBP≥900時(shí)，對線段PB上任意一點(diǎn)F,OF≥OB,即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求．

設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且P1B⊥AB,由(1)知，P1B=15,此時(shí)P1(-13,9).

當(dāng)∠OBP>900時(shí)，在△PP1B中，PB>P1B=15.由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置．

以上是江蘇省考試院給出的官方標(biāo)答，主要是基于解三角形、三角函數(shù)與基于直線與圓解析法來求解．回顧標(biāo)答，發(fā)現(xiàn)有很大篇幅是用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行說理的，如第二問中線段AD是如何與圓相交的，第三問中在開頭更是濃墨重彩地討論位置說明為什么d的最小值為15，對考生要求較高.而應(yīng)用題整個(gè)建模過程對數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求其實(shí)并不高，這道應(yīng)用題看完解答感覺不難，用到的知識與技能較為常規(guī)，許多考生也寫出最后結(jié)果．若是放到中考，初中生是否也可解？筆者將此題給初三剛畢業(yè)的學(xué)生求解．

2.2 初中解法

(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.因?yàn)锽D⊥l,AC⊥l,所以四邊形ACDE為矩形．

(2)①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)(除B,E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求．

圖4

(3)基本上同法一后半段，前半段說理d的最小值為什么是15同樣推理不到位．

初中生運(yùn)用平面幾何的知識也可解決此題，特別是相似三角形、勾股定理的應(yīng)用．當(dāng)然，初中在不知情(高考題)的放松狀態(tài)下完成此題，但這也能在一定程度上說明此題的確可以下放到初中去解．那自然要問，高中多學(xué)了三年，高中生處理此題是不是更輕松？求解的方法手段更豐富？高考對考生檢測考查主要體現(xiàn)在哪？

3 追問缺失

本題總分16分，均分不到6分，說明這道應(yīng)用題具有一定的“殺傷力”，我們不禁要追問缺失．通過調(diào)研考生答題情況，除了考生對應(yīng)用題恐懼而放棄第二問與第三問外，很多考生自認(rèn)為答案對，但卻沒得滿分，造成失分的主要原因是用數(shù)學(xué)語言來表述推理的嚴(yán)謹(jǐn)性欠缺，可謂是直觀直接，而推理不足．這正是高考命題者想要考查邏輯推理這個(gè)核心素養(yǎng)．本題是道應(yīng)用題，符合邏輯推理素養(yǎng)水平二，要求能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述論證過程；能夠通過舉反例說明某些數(shù)學(xué)結(jié)論不成立(本題第二問)．

史寧中先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)知識的形成依賴直觀，數(shù)學(xué)知識的確定依賴推理．”此題中很多考生關(guān)注直觀，如初中生也學(xué)習(xí)過平面幾何，利用勾股定理也能求解，與高中考生一樣會出現(xiàn)相對忽視基于直觀的推理，即用數(shù)學(xué)語言來表述推理的嚴(yán)謹(jǐn)性欠缺，造成了解題的不完整．通過高中三年的學(xué)習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力得到了很大的提高，按理來說理應(yīng)強(qiáng)于初中生，但不容樂觀的是和初中生一樣還會在推理嚴(yán)謹(jǐn)性方面不夠重視，通過反饋主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面．

①第二問存在的問題

剖析直線AD與圓O相交，并不能說明線段AD與圓O相交，即沒有給出“線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑”嚴(yán)密推理．

事實(shí)上高中生面對這道應(yīng)用題，可從多個(gè)角度切入，因?yàn)楦咧性诔踔泻唵蔚墓垂啥ɡ砘A(chǔ)上學(xué)了正余弦定理，學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，學(xué)習(xí)解析幾何，知道了直線與圓的方程，學(xué)會了用代數(shù)方法解決幾何問題．有了這些，高中考生具有初中生不具備的推理途徑．

另解一找出線段AD上到O點(diǎn)距離的最小時(shí)的那個(gè)點(diǎn)．

另解二將線段AD直接表示，取點(diǎn)直接表示兩點(diǎn)間的距離.

當(dāng)然也可以求解不等式

②第三問存在的問題

第三問中d的最小值為15，有些考生輕描淡寫就直接給出．

如：由(1)得，道路PB的最小值為15，所以d的最小值為15．

剖析沒有說清楚PB的最小值為什么是15，就貿(mào)然給出d的最小值為15．當(dāng)然，考生自己直接看出來，這個(gè)就是正確的結(jié)果，但卻是不講理的，即便不影響后續(xù)解答．

除了標(biāo)答中的兩種解法外，我們還可以從以下兩個(gè)角度推理．

4 復(fù)習(xí)建議

答題是做給別人看的，呈現(xiàn)給閱卷老師看的，閱卷時(shí)考生是不在場的，不用考生解釋，一切盡在答題卡上，無需口頭補(bǔ)充說明．答題卡上便反映出考生對此題的理解程度，考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也在答題過程得到體現(xiàn)，閱卷老師見答題卡如見考生．如果說“問題和解是數(shù)學(xué)的心臟”，那么對數(shù)學(xué)問題求解過程進(jìn)行“嚴(yán)謹(jǐn)性”的審視無疑是保證提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要機(jī)制.在進(jìn)行思維和表達(dá)時(shí)都需要借助語言，而這些語言都必須合乎邏輯．這些語言應(yīng)該步驟完整，理由充足，表述規(guī)范．“步驟完整”是指出不要“跳步”，例如，如果本來需要五步推理，就不要只說出三步．“理由充足”是指不要缺少理由，例如由第二步推到第三步需要有三個(gè)理由，就不要只說出兩個(gè)理由．“表述規(guī)范”是指表述要準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、完整、簡潔．[3]

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)論的最終表述僅僅涉及符號和邏輯術(shù)語，平淡乏味，但在事實(shí)上，大多數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)論的內(nèi)涵是豐富多彩的，而其中的推理過程是生機(jī)勃勃的．平時(shí)在課堂教學(xué)中，教師要關(guān)注思考的邏輯性與推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，在批改學(xué)生的作業(yè)時(shí)要按邏輯段進(jìn)行賦分，若邏輯段斷裂，甚至不講理式答題，教師應(yīng)給予指出并及時(shí)糾正，培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯連貫、書寫清楚．要做一名好的教師，就要“想明白、說清楚”．[4]“想明白”是要能夠準(zhǔn)確地把握所教授知識的本質(zhì)，明晰知識邏輯，洞悉數(shù)學(xué)教學(xué)的教育價(jià)值．“說清楚”是要依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的知識邏輯和思維邏輯，引導(dǎo)學(xué)生去理解問題、思考問題．?dāng)?shù)學(xué)教師最好每一節(jié)課至少要板演一個(gè)題的完整的解析過程，要學(xué)生做好，教師必須示范在前,將知識技能的掌握與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成有機(jī)結(jié)合．